貝葉斯統計理論的基本觀點與研究現狀的論文

　　摘要：貝葉斯統計是當今世界兩大主要統計學派之一，貝葉斯方法成功應用于社會科學、經濟商業活動、可靠性技術等領域中，本文主要論述了貝葉斯統計理論的起源、基本觀點、研究現狀及其與頻率統計學派的異同點。

　　關鍵詞：貝葉斯統計；先驗分布；后驗分布

　　一、貝葉斯統計理論的起源和基本觀點

　　統計學中兩個主要學派（頻率學派（經典統計學派）和貝葉斯學派）之間有著長期的爭論，對統計學的發展起到了積極的促進作用。這里主要討論貝葉斯統計理論的起源、基本觀點及其應用。貝葉斯統計起源于英國學者貝葉斯1763年發表的一篇論文“論有關機遇問題的求解”。該文包含了一般大學本科概率統計教材中人們所共知的貝葉斯公式，時隔二百多年后的現代貝葉斯學派, 其基本思想和理論依據, 仍然是這個貝葉斯公式。 貝葉斯公式誕生后的100多年，隨著統計應用的擴大, 貝葉斯統計受到了很大程度的歡迎,由于其在決策理論和可靠性分析及其它統計學領域中的應用越來越廣泛, 現代貝葉斯理論得到了很大的發展。

　　貝葉斯學派奠基性的工作是貝葉斯的論文，也許是他自己感到他的學說還有不完善的地方，這一論文在他生前沒有發表，而是在他死后由他的朋友發表的。著名的數學家拉普拉斯用貝葉斯提出的方法，導出了重要的“相繼律”，貝葉斯的方法和理論逐漸被人理解和重視起來。盡管貝葉斯方法可以推導出一些有意義的問題，但在理論上和實際應用中還是出現了各種各樣的問題，因而在19世紀并未被大家普遍接受。20世紀初，意大利的菲納特，英國的杰弗萊都對貝葉斯學派的理論作出了新的貢獻。第二次世界大戰后，瓦爾德提出了統計的決策理論，在這一理論中貝葉斯解占有重要的地位；信息論的發展也對貝葉斯學派作出了新的貢獻；更重要的是在一些實際應用的領域中，貝葉斯方法取得了成功，貝葉斯學派成了一股不容忽視的'力量。

　　貝葉斯學派的基本觀點是：任一個未知量都可以看作一個隨機變量，應用一個概率分布去描述對的未知狀況。這個概率分布是在抽樣前就有的關于的先驗信息的概率陳述。這個概率分布被稱為先驗分布。有時還簡稱為先驗。因為任一未知量都有不確定性，而在表述不確定性程度時，概率和概率分布是最好的語言。貝葉斯學派很重視先驗信息的收集、挖掘和加工，使它數量化，形成先驗分市，參加到統計推斷中來，以提高統計推斷的質量。忽視先驗信息的利用，有時是一種浪費，有時還會導致不合理的結論。

　　二、貝葉斯統計學派與頻率統計學派之間的批評

　　貝葉斯學派對經典學派的批評主要是下面兩點：頻率學派對一些統計問題的提法不妥，包括估計問題中的置信區間和假設檢驗問題，頻率統計學派判斷方法好壞的標準不妥。貝葉斯學派贊成主觀概率，但不等于說主張用主觀隨意的方式去選取先驗分布。

　　貝葉斯學派受到的批評集中于以下兩點：參數看成是隨機變量是否妥當先驗分布是否存在，如何選取?而頻率學派對貝葉斯學派的批評，主要是針對先驗分布。根據頻率學派的觀點，參數在每一確定問題中都是取一個確定的值，它是一個未知常數，并不具有隨機性，因而也就沒有任何統計分布。

　　在統計推斷的基本理論和方法方面，二者存在很大差異。最主要的差別，也是貝葉斯理論的一個重要特征，就是在獲得后驗分布后，如果把樣本原來的統計模型都丟掉，一點也不會影響到將來的推斷，凡是符合這個準則的就是貝葉斯推斷。據此，矩估計、顯著性統計檢驗和置信區間估計等都不屬于貝葉斯推斷，而最大似然估計則可視為均勻先驗分布之下的貝葉斯推斷，因此，作為頻率學派中一個很重要的極大似然估計，其實就是在一種特殊先驗分布下的貝葉斯估計而已。兩個學派各有其成功和不足的地方，都有廣闊的發展前景，在實用上是相輔相成的。

　　三、貝葉斯統計理論的研究現狀

　　1、先驗分布理論的研究。先驗分布的選擇是貝葉斯統計推斷的前提，它大體上可以分為無信息先驗分布和共軛先驗分布兩大類，無信息先驗分布一般應滿足以下幾條性質：不變性、相合的邊緣化、相合的抽樣性質、普遍性和容許性。

　　共軛先驗分布是貝葉斯理論中的另一類重要的先驗分布，對正態分布N(，)而言，有以下結論：（1）已知，未知時，的共軛分布族為逆伽瑪分布；（2），均未知時，參數的共軛分布族為正態—逆伽瑪分布；（3）均值向量已知精度陣(定義為協方差陣的逆) 未知時，精度陣的共軛分布族為逆維希特分布；（4）均值向量、精度陣均未知時，參數的共軛分布族為正態—逆維希特分布。

　　2、后驗分布的統計推斷。后驗分布是貝葉斯統計推斷的出發點與關鍵所在， 對于一般參數先驗分布而言，其后驗分布相當復雜，很難納入目前已知的統計分布類別之中，因此常用基于計算機的方法來計算或近似參數后驗分布特征。

　　四、貝葉斯統計的應用

　　貝葉斯方法作為一個新的學派，在實踐中獲得了廣泛應用，提出了很多有效的方法。這些方法的發展都是從簡單到復雜，估計的精確度也在不斷提高，估計方法更偏向人的思維模式，易于被大家接受。從國內外的文獻資料來看，貝葉斯統計推斷理論幾乎可以作為每一個學科的研究工具之一，它既可以用于臨床試驗、醫學檢查、質量控制、軟件質量評估、緩慢周轉物品的存儲問題、核電站可靠性評價，又可應用于水文事件頻率的估計、犯罪學不完全記數的估計以及保險精算；近年來貝葉斯統計理論在宏觀經濟預測中取得了巨大的成功，從模型的穩定性和預測精度兩個方面來看，貝葉斯預測模型優于非貝葉斯模型，因此貝葉斯方法獲得越來越多專家學者的認同。

　　與國外相比較，貝葉斯統計理論在我國的應用與發展尚屬起步階段，但近年來我國學者逐步認識到該理論的重要性，并對此開展了一系列的研究，因此， 我們相信貝葉斯統計理論在我國能得到迅速發展，并很快跟上世界主流。

　　參考文獻：

　　[1]茆詩松.貝葉斯統計 中國統計出版社 1999.

　　[2]吳喜之.現代貝葉斯統計學 中國統計出版社 2000.

　　[3]張堯庭,陳漢峰.貝葉斯統計推斷 科學出版社 1991.

　　[4]茆詩松.高等數理統計 高等教育出版社 2006.

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