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丹齊克《指印》原文
指印
古羅馬歷，一年月亮繞十個圈，
當時把這個數(shù)奉為至尊至上，
或者因為我們習慣了用手指來數(shù)數(shù)，
或者因為婦人懷胎十個月方才分娩，
再不然就因為數(shù)字增到了十，
便回頭來，從一開始循環(huán)。
——奧維德（Ovid），《歲時記》（Fasti）第三卷
１
人類在進化的蒙昧時期，就已經(jīng)具有一種才能，這種才能，因為沒有更恰當?shù)拿郑夜们医兴鼮閿?shù)覺。由于人有了這種才能，才在一個小的集合里邊，增加或者送去一樣東西的時候，盡管他未曾直接知道增減，他也能夠辨認到其中有所變化。
數(shù)覺和計數(shù)不能混為一談。計數(shù)似乎是很晚以后才有的一種收獲，由后文可以知道，它牽涉到一種頗為復雜的心理過程。就我們所知，計數(shù)是一種人類獨具的特性；另一方面，有若干種動物看來也具有一種和我們相類似的原始數(shù)覺。至少，有權威的關于動物行為的觀測家持有這種主張，而且有很多實例支持這種理論。
例如，許多鳥類是具有這種數(shù)覺的。鳥巢里若是有四個卵，那么可以安然拿去一個；但是如果拿掉兩個，這鳥通常就要逃走了。鳥會用某種奇怪的方法來辨別二和三。但是這種才能不僅限于鳥類。實際上，我們所知道的最驚人的例子要算叫做“獨居蜂”（solitarywasp）的昆蟲。這種母蜂在每個巢里下一個卵，并且在巢里面預先儲藏了一批活的尺蠖，作為幼蟲孵化后的食料。使人吃驚的是，各類獨居蜂每巢里所放的尺蠖數(shù)目都是一定的：有些類放五條，有些放十二條，多的甚至于有二十四條的。最特別的是一種叫做蜾蠃（eumenus）的蜂，這種蜂雄的比雌的小得多。母蜂能用神秘的方法辨別孵化出來的幼蟲是雄的還是雌的，并且據(jù)此相應地分配食品的數(shù)量；它并不去改變捕獲物的大小和種類，只給雄卵儲存五條尺蠖，給雌卵儲存十條。
由于蜂類行為的規(guī)律化，而且這種行為和它的生命的基本機能有密切的關系,所以上述例子不如下面的例子來得更加令人信服.這里所舉的鳥的行為,似乎已經(jīng)處于自覺的邊緣了.
有個田主決心要打死一只在他莊園的望樓里筑巢的烏鴉.他試了好多次想驚動它,始終沒有成功:因為人一走近,烏鴉就離開了巢,飛開了.它棲在遠遠的樹上守著,等到人離開了望樓,才肯飛回巢去.有一天,這田主定下了一個計策:兩個人走進望樓,一個留著,一個走開了.但是烏鴉并不上當:它老等著,直到留在望樓里的人也走了出來才罷.這個試驗一邊作了幾天:兩個人,三個人,四個人,都沒有成功.末了,用了五個人:也像以前一樣,先都進了望樓,留一個在里面,其它四人走出來,離開了.這次烏鴉卻數(shù)不清了;它不能辨別四與五,馬上就飛回巢里去了.
2
這個例證可以引起兩種反駁的意見.第一,具有這種數(shù)覺的動物只限于極少的幾類,而在哺乳動物中就沒有發(fā)現(xiàn)這種才能,甚至猿猴也好像沒有.第二,就已經(jīng)知道的一切事例而言,動物數(shù)覺的范圍實在太小,簡直可以略而不論.
第一點意見我們是承認的.這確乎是一個值得注意的事實:識數(shù)的才能,不論是這種形式或那種形式,看來總是限于幾種昆蟲,幾種鳥類和整個人類.對于狗、馬和其他家畜所做的實驗和觀察，都不曾發(fā)現(xiàn)它們有什么數(shù)覺。
至于第二點意見，卻沒有多大價值，因為人類的數(shù)學范圍也是十分有限的。尋常讓一個文明人去辨別數(shù)目的時候，他總有意無意地用其他的技能，諸如對稱圖形讀法、心計組合法、計數(shù)術等，來幫助他的直接數(shù)覺。特別是，計數(shù)已經(jīng)變成我們智能的如此重要的組成部分，所以用心理學的方法來實驗我們的關于數(shù)的知覺，實在是很困難的。但是，話雖如此，現(xiàn)在還是有了一些進展；根據(jù)精密安排的實驗結果，不能不下結論說：普通文明人的直接視覺數(shù)覺，很少能超過四，至于觸覺數(shù)覺，范圍甚至還要小些。
人類學上關于原始民族的研究，加強了這個結論的可信程度。從這些研究得知，還沒有達到屈指計數(shù)階段的野蠻人，幾乎完全滑關于數(shù)的知覺。澳洲、南海群島、南美洲和非洲的許多部族都是如此。柯爾（Curr）對于澳洲的原始民族有過廣博的研究，他以為只有很少的土人能夠辨別四，處于野居狀態(tài)中的澳洲土人沒有人能了解七。南非洲的布須曼（Bushmen)族，除了一、二和多之外，再沒有別的數(shù)字了，而這三個字又是那么語調含糊，那些土人是否賦予了它們以明晰的意義，也還是個疑問。
我們決沒有理由相信，我們的遠祖有更高的天賦，卻有許多理由使我們懷疑這種想法，試看各種歐洲語言，幾乎都帶有這種早期局限性的痕跡。英文的Thrice和拉丁文的Ter，同樣的有雙重意義：三倍和許多。拉丁文的Tres(三）和Trans（超過）之間有著可信的聯(lián)系；而法文的Tres(甚）和Trois（三）也是如此。
數(shù)的產(chǎn)生，遠在有史以前，詳情已無法深究。究竟數(shù)的概念是從經(jīng)驗里邊產(chǎn)生的，還是僅僅憑借經(jīng)驗之力，把早已隱藏在原始人心靈中的概念加以暴露而來的呢？這是一個吸引人的玄學問題，因而不在本書討論的范圍之內了。
如果我們用現(xiàn)代野蠻民族的智力情況來推斷我們遠祖的發(fā)展史，我們不能不承認，在開始的時候也是非常幼稚的。一種比鳥類高強不了多少的原始的數(shù)覺，就是產(chǎn)生我們數(shù)概念的核心。毫無疑問，如果人類單憑這種直接的數(shù)的知覺，在計算的技術上，就不會比鳥類有什么進步。但是經(jīng)歷一連串的特殊的環(huán)境，人類在極為有限的數(shù)知覺之外，學會了另一種技巧來給他幫忙，這種技巧注定了使他們未來的生活受到巨大的影響。這種技巧就是計數(shù)，并且，正是由于有了計數(shù)，我們贏得了用數(shù)來表達我們的宇宙的驚人成就。
3
有些原始語言對于虹的各種色彩都有專門的字，但是沒有“色”這個字；又有些語言所有數(shù)字都
有，只是沒有“數(shù)”這個字。其它的概念也有這樣的情況。在英文中，對于某些特種集合，有豐富的本國語言的表現(xiàn)方法，例如：Flock(一群），Herd(一幫），Set（一套），Lot(一土堆），bunch(一束)，分別適用于特殊的場合；然而Collection（集合）和Aggregate(集）這兩個字卻是外來語。
具體的東西總在抽象的東西之先。羅素（BertrandRussell)說：“不知道要經(jīng)過多少年，人類才發(fā)現(xiàn)一對錦雞和兩天同是數(shù)字2的例子。”到現(xiàn)在我們還有不少的字來表達2這個概念，如Pair,Couple,Set,Team,Twin,Brace等等。早期數(shù)概念的極端具體性，不列顛哥倫比亞的辛姆珊（Thimshian)族的語言是一個明顯的例子、這種語言共有七種不同的數(shù)字：一種用于走獸和扁平的物體；一種用于時間和圓形的物體；一種用來數(shù)人的；一種是用于樹木和長形物體的；一種是用于小艇的；一種是用來測量的；還有一種是在沒有特定對象時計數(shù)用的。最后一種大概是后來才發(fā)展起來的。前幾種必定是這族人還沒有學會計數(shù)之前的早期遺物。
正是計數(shù)，才使具體的、不同質的表達多寡的概念結合為統(tǒng)一的抽象的數(shù)概念。前者是原始人的特點，后者則是數(shù)學發(fā)展的前提。
4
然而，我們說，不用計數(shù)技術，也可以得出一種合乎邏輯的明晰的數(shù)概念，這雖然好像奇怪，但確是可能的。
我們走進一個會堂。在我們面前的是兩個集合：一個是會堂的座位，一個是出席的人。我閃不用計數(shù)，就可以知道這個個集合是否相等，如果不相等，哪個大些。因為要是所有的座位都坐滿了，同時沒有人站著，我們不用計數(shù)就知道兩個集合相等。要是座位已經(jīng)滿了，而仍舊有人丫頭，我們不用計數(shù)就知道人多而座位少了。
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