高中數學的斷層與銜接研究論文
大學高等數學和高中數學存在斷層。學生知識結構的變化、學生生源差異等導致這種斷層產生和加深。高中新課標的教學大綱和教材有很大的變化，刪除或者弱化了大學數學所必須用到的三角函數等知識，同時加入了屬于大學數學知識體系的導數等內容;文理科、不同地區或民族的學生數學基礎相差很大。大學高等數學與高中數學的銜接教學需要關注高中教學大綱和高考知識點的變化，認真研究改革高等數學教學大綱和教材，根據學生情況研究不同的教學方案。
一、引言
早在20世紀80年代，微積分就進入了我國的高中數學課本，到2002年的教學大綱中列為選修內容，并成為全國高考考試內容[1]。教育部在2003年頒發了《普通高中數學課程標準(實驗)》(后面簡稱新課標)，并從2004年開始進入新課改實驗階段[2]。新課標的教育方法和理念，課程結構與內容都有所改變。高中數學在內容及知識結構體系上做了較大的修改，有增有減。刪除了一部分大學《高等數學》教學中必須用到內容，如極坐標、反三角函數的知識，微積分導數的部分有所增加[3]。我國大學的高等數學教材種類繁多，但都是以傳統的高中數學課程做基礎編制的。這樣造成大學數學與高中數學知識的不連貫，形成一個知識的斷層。對斷層中知識的補充以及怎樣處理高中已經講過的微積分部分內容，成為大學高等數學教材和教學改革中的一個現實問題。
新課標提出了“知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀”三位一體的課程目標;在學習方式上倡導自主、探究、合作式的學習;在教學方式上倡導探究式、參與式教學，注重信息技術的運用，強調開展課題研究，體現數學的來龍去脈[4]。學生從小學到高中知識采用螺旋式上升的知識體系。與中小學的教學改革相比，大學數學課程理念比較陳舊，與現行的中學大綱缺乏有效的銜接[5]。大學現有的教學改革更關注各專業對數學的需求，幾乎沒有考慮中學數學改革的影響。事實上，各大學、專業之間差異非常大，不可能像中學一樣制定一個統一的教學大綱。即使同一所大學同一個專業學生的數學基礎也存在很大的差異。因此，作為大學新生入學的第一門數學課程，如何解決高等數學與新課標下高中數學的斷層與銜接問題，值得教育者們關注。通過對經管學院、植物科學學院、園林學院共240余名學生的調查問卷，并研究了現行的人教版高中課本以及高考叢書，分析斷層形成的原因，并對大學高等數學與高中數學的銜接教學進行了探討。
二、大學高等數學與新課標高中數學的斷層問題
大學教育和高中教育存在斷層。高等數學作為學生由高中進入大學的第一門數學課程，學生學習普遍感覺困難。在高中階段學生主要進行的是邏輯思維，而高等數學的學習還必須進行辯證思維[6]。例如，極限的思想要求學生的思維需要由靜到動，從精確等于到無限接近，從有限到無窮轉變。大學知識量迅猛增大，學生由老師安排好的被動學習變為主動思考自己要學什么，怎么學[7]。這一切會使學生感到不適應，使大學教育和中學形成斷層。
學生知識結構的變化、學生生源的差異等導致這種斷層的產生和加深。新課標的大綱教材有很大的變化，有些大學數學所必須用到的知識在新課標高中數學中被刪除或者弱化，同時加入了屬于大學數學知識體系的導數等內容;文理科學生在高中階段對數學的要求不同，授課內容有所差別;由于各地高考試卷不同，高考內容有所差異，導致高中數學授課內容的差別;我國民族眾多，地區的發展及文化的差異導致教育發展的不同，學生的入學成績相差較大，數學基礎相差甚遠。
(一)新課標高中數學教材的內容
以北京市為例，現行的高中課本實際講課的內容有：必修1-4，選修2共有4冊，選修4共有2冊，共有10本教材。其他省市如山西、河北等地，講授的內容稍微多一點。新課標教材緊跟時代步伐，內容及章節的編排上都與舊大綱教材迥然不同。
1)高中刪減的內容
新課程標準進一步降低了過去高中數學內容中多數學生普遍感到難于接受的反函數的較深要求。認為此部分內容高中學生的年齡段難理解，打擊了學生的學習積極性。
高中刪減的內容對高等數學影響最大的莫過于三角函數部分。六個三角函數只講了三個，即：sin x. cos x. tan x，反三角函數則只字未提。和差化積、積化和差等重要的三角公式未作要求。選修4-4中雖然有柱坐標、球坐標和常見的曲線方程，例如擺線方程、圓的漸開線方程等高等數學用到的重要內容，但是都屬于高中不講授的內容。排列組合與二項式定理在高等數學的一些證明及計算中經常用到，而文科的同學沒有學過這部分內容。極坐標是高等數學積分中用到的重要內容，高中課本上有，但是強化不夠，學生理解困難，需要重新講解。
2)高中增加的內容
高中內容有增有減，增加了計算機編程的基礎知識，概率統計初步知識，線性規劃建模等較新的內容;微積分中簡單的導數計算及其應用;定積分與微積分基本定理。
必修3中的算法初步、選修2中的邏輯用語都是為大學的計算機編程打基礎的;必修5的線性規劃問題則是為將來用數學解決實際問題——建模作鋪墊;必修3中有統計和概率、選修2-3的獨立性檢驗和回歸分析屬于大學概率統計的內容。選修2-2中有一章講了大學高等數學中導數及其應用。
(二)學生文理科的差異
大學的部分專業文理兼招，學生思維方式、數學基礎差異較大。以所調查的文理兼招的`經管學院學生為例：文科同學沒有講必修3中中國古代數學中的算法案例，必修4中三角函數的積化和差與和差化積公式;選修2-2導數的概念引入文科與理科不同，沒有要求導數的幾何意義和實際應用;理科同學會簡單的復合函數求導，文科只學過導數的四則運算;文科完全沒有接觸積分，而有些省市的理科生則學過定積分與微積分基本定理;選修2-3計數原理——包括排列組合和二項式定理，文科均沒有講。
(三)不同地區、不同類型高中的生源基礎不同
不同地區學生所學內容不同。通過調查問卷得知，來自山西、河北、山東等地的學生接觸過極限的描述性定義，學過定積分的應用，會計算簡單的定積分。其余大部分學生完全沒有接觸過極限和積分。學生對于導數都比較熟悉，但掌握的程度也有很大區別，例如有的學過簡單的隱函數的導數，導數的應用中學過洛必達法則，但有的學生只會計算簡單的導數。導數的16個公式高中學過8個，即常數，冪函數，兩個三角函數sin x，cos x ，指數函數和對數函數的4個求導公式。
隨著國家少數民族政策的完善，越來越多的少數民族學生走出本地區，到發達地區讀書。這些學生中有的一直是本民族語言授課，漢語是作為外語學習的，例如：有些新疆、西藏地區的學生在高二才開始學習漢語。由于地區和民族的差異造成學生數學基礎不同，高等數學作為入學的第一門數學課程，一部分少數民族學生難以適應，出現學習困難的情況。
三、大學高等數學與高中數學的銜接教學
高等數學作為大學的第一門較難的數學課程，對學生今后的學習相當重要。怎樣彌補大學數學與高中數學的斷層，需要大學老師仔細研究高中數學教學大綱和高考知識點的變化，改革高等數學教學大綱和教材，根據學生專業、生源的情況研究教學方案。
(一)關注高中數學教學大綱和高考知識點的變化
大學數學老師應當關注高中數學教學大綱的變化，這決定我們學生的數學知識結構，與高等數學課程的講授密切相關。每年9月迎接學習高等數學課程的新生，他們的數學基礎都會不同，知識點都會略有差別。高考是高中老師授課的指揮棒，大學老師也應該深入了解每年高考知識點的變化，才能更好地動態把握每年學生的數學基礎。
高中數學教學大綱的變化及生源的復雜性導致了高等數學與高中數學產生斷層。怎樣處理高中新課標刪除的內容和高中講過的高等數學內容，需要大學教師用心研究。例如：在計算定積分和二重積分時要用到極坐標。但是高考不考極坐標，學生掌握得不好，因而需要補充。可以引導學生自學，再給出公式加以解釋;對數公式亦是如此;三角函數、反三角函數需要引起足夠的重視，不僅公式內容多，而且貫穿了高等數學始末，必須花課時讓學生掌握扎實，補充未學的cot x，sec x，csc x，以及四個反三角函數arcsin x，arccos x，arctan x，arccot x，達到隨手畫出圖像，記熟所有公式。
(二)認真研究改革高等數學教學大綱和教材
新課標中小學教材理念一致，知識從小學開始，采取遞進式螺旋上升的原則，為大學數學的學習作了必要的鋪墊。例如：我們的高等數學中導數的部分講解比較輕松。大學要樂觀對待這種改革，而不是抱怨學生基礎差。對于高中刪減的部分要積極應對，在大學教學大綱和教材中應當有所體現。一般大學高等數學的教材會有一節復習初等數學的內容，新課改后，由于高中刪減了部分內容，利用1-2次課講授復習初等數學的內容顯然不夠。教材中也需要對補充的內容細化，而不是以復習知識點的形式出現。甚至需要做一些習題鞏固，學生才能掌握。對于補充初等數學沒有講的部分，根據不同專業的要求給予不同的課時，給學生打下良好的基礎。如果學時不夠，可以在學生有基礎的導數及其應用中適當調整。
(三)根據學生情況研究不同的教學方案
大學之間的差異，專業方向的不同，對高等數學的要求差別很大。因此不同專業的高等數學課時也相差較大。在具體實施教學時，要盡量采取措施減小同專業不同生源的差距，向學生仔細了解生源地區中學的數學教學情況，具體到每一個知識點，從而使高等數學與高中數學有針對性地銜接起來。
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