（一）教學(xué)目標(biāo)
1. 使學(xué)生掌握因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，知道有關(guān)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。
2. 使學(xué)生通過自主探索，掌握2、5、3的倍數(shù)的特征。
3. 逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。
（二）教材說明和教學(xué)建議
教材說明
通過四年多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了大量的整數(shù)知識（包括整數(shù)的認(rèn)識、整數(shù)四則運算），本單元讓學(xué)生在前面所學(xué)的整數(shù)知識基礎(chǔ)上，進一步探索整數(shù)的性質(zhì)。本單元涉及到的因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)以及第四單元中的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)都屬于初等數(shù)論的基本內(nèi)容。數(shù)論是一個歷史悠久的數(shù)學(xué)分支，它是研究整數(shù)的性質(zhì)的一門學(xué)問，以嚴(yán)格、簡潔、抽象著稱。數(shù)學(xué)一直被認(rèn)為是“科學(xué)的皇后”，而數(shù)論則更被譽為“數(shù)學(xué)的皇后”，可見數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位。本單元的知識作為數(shù)論知識的初步，一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容。通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生獲得一些有關(guān)整數(shù)的知識，另一方面，有助于發(fā)展他們的抽象思維。
在數(shù)論中，數(shù)的整除性理論又是最為基本的理論，本單元的所有概念都是建立在數(shù)的整除性的基礎(chǔ)之上。對于任意整數(shù)a、b，都存在整數(shù)n、r，使b＝na＋r（其中r＜a），當(dāng)r＝0時，我們就說b能被a整除（或a能整除b），此時，b＝na。其他的一些概念，如因數(shù)、倍數(shù)等，都是以此為基礎(chǔ)的。
在以往的數(shù)學(xué)教材中，也一直把“數(shù)的整除”概念編排在這一單元的起始位置，再把因數(shù)（以往的教材中稱為約數(shù)），倍數(shù)，2、5、3的倍數(shù)的特征（以往的教材稱為能被2、5、3整除的數(shù)的特征），質(zhì)數(shù)，合數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)，最大公因數(shù)（以往的教材中稱為最大公約數(shù)），最小公倍數(shù)等內(nèi)容共同編排在后面，合為一個單元。這樣編排，雖然突顯了以上這些概念的緊密邏輯關(guān)系，但也形成了同一單元內(nèi)概念多而集中、抽象程度過高的現(xiàn)象，學(xué)生在學(xué)習(xí)時經(jīng)常出現(xiàn)概念混淆、理解困難的問題。因此，與以往教材相比，本套實驗教材在編寫時，對這部分內(nèi)容進行了以下幾方面的調(diào)整。
1. 我們在本單元研究的都是整除現(xiàn)象，因此，可以說整除概念是貫穿這部分教材的一條主線。但“整除”這一詞匯是否必須出現(xiàn)呢？讓學(xué)生大量敘述“×能被×整除”“×能整除×”是否必要？簽于學(xué)生在前面已經(jīng)具備了大量的區(qū)分整除與有余數(shù)除法的知識基礎(chǔ)，對整除的含義已經(jīng)有了比較清楚的認(rèn)識，不出現(xiàn)整除的定義并不會對學(xué)生理解其他概念產(chǎn)生任何影響。因此，本套教材中刪去了“整除”的數(shù)學(xué)化定義，而是借助整除的模式na＝b直接引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。
2. 在以往的教材中，由于求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)時，采用的方法是唯一的、固定的，也就是用短除法分解質(zhì)因數(shù)的方法。因此，作為求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的必要基礎(chǔ)，“分解質(zhì)因數(shù)”一直作為必學(xué)內(nèi)容編排。而在本冊教材中，由于允許學(xué)生采用多樣的方法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)也失去了其不可或缺的作用，同時，也是為了減少這一單元的理論概念，教材不再把它作為正式教學(xué)內(nèi)容，而是作為一個補充知識，安排在“你知道嗎？”中進行介紹。
3. 公因數(shù)、最大公因數(shù)和公倍數(shù)、最小公倍數(shù)概念的建立是以因數(shù)、倍數(shù)的概念為基礎(chǔ)的，也是為后面學(xué)習(xí)約分（需要盡快找出分子、分母的公因數(shù)）、通分（需要盡快找出兩個分?jǐn)?shù)分母的公倍數(shù)）做準(zhǔn)備的，在整個知識鏈中起著承上啟下的作用。這兩個內(nèi)容可以集中編排在本單元，也可以分散編排在約分、通分的前面。考慮到本單元概念較多，抽象程度高，本套教材把這兩部分內(nèi)容分散編排在第四單元，也更加突出了它們的應(yīng)用性。
教學(xué)建議
1. 由于這部分內(nèi)容較為抽象，很難結(jié)合生活實例或具體情境來進行教學(xué)，學(xué)生理解起來有一定的難度。在過去的教學(xué)中，一些教師往往忽視概念的本質(zhì)，而是讓學(xué)生死記硬背相關(guān)概念或結(jié)論，學(xué)生無法理清各概念間的前后承接關(guān)系，達(dá)不到融會貫通的程度。再加上有些教師在考核時使用一些偏題、難題，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識時覺得枯燥乏味，體會不到初等數(shù)論的抽象性、嚴(yán)密性和邏輯性，感受不到數(shù)學(xué)的魅力。為了克服以上教學(xué)中出現(xiàn)的問題，應(yīng)注意以下兩點。
（1）加強對概念間相互關(guān)系的梳理，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上理解概念，避免死記硬背。本單元中因數(shù)和倍數(shù)是最基本的兩個概念，理解了因數(shù)和倍數(shù)的含義，對于一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的、倍數(shù)的個數(shù)是無限的等結(jié)論自然也就掌握了，對于后面的公因數(shù)、公倍數(shù)等概念的理解也是水到渠成。要引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點去掌握這些知識，而不是機械地記憶一堆支離破碎、毫無關(guān)聯(lián)的概念和結(jié)論。
（2）由于本單元知識特有的抽象性，教學(xué)時要注意培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。雖然我們強調(diào)從生活的角度引出數(shù)學(xué)知識，但數(shù)論本身就是研究整數(shù)性質(zhì)的一門學(xué)科，有時不太容易與具體情境結(jié)合起來，如質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，很難從生活實際中引入。而學(xué)生到了五年級，抽象能力已經(jīng)有了進一步發(fā)展，有意識地培養(yǎng)他們的抽象概括能力也是很有必要的，如讓學(xué)生通過幾個特殊的例子，自行總結(jié)出任何一個數(shù)的倍數(shù)個數(shù)都是無限的，逐步形成從特殊到一般的歸納推理能力，等等。
2. 這部分內(nèi)容可以用6課時進行教學(xué)。
（三）各小節(jié)的教材說明和教學(xué)建議
1. 因數(shù)和倍數(shù)
（第12～16頁）
教材說明
這部分教材首先介紹了因數(shù)和倍數(shù)的概念，然后在例1和例2分別介紹了求一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法。
1. 因數(shù)和倍數(shù)。
編寫意圖
本單元在引入因數(shù)和倍數(shù)的概念時與以往的教材有所不同。在以往的教材中，都是通過除法算式來引出整除的概念，每個除法算式對應(yīng)著一對有整除關(guān)系的數(shù)，如b÷a＝n表示b能被a整除，b÷n＝a表示b能被n整除。在此基礎(chǔ)上再引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。實際上，如前所述，由于乘除法本身就存在著互逆關(guān)系，用乘法算式（如b＝na）同樣可以表示整除的含義。因此，本套教材中沒有用數(shù)學(xué)化的語言給“整除”下定義，而是利用一個簡單的實物圖（2行飛機，每行6架）引出一個乘法算式2×6＝12，通過這個乘法算式直接給出因數(shù)和倍數(shù)的概念。這樣，學(xué)生不必通過12÷2＝6得出12能被2整除，進而2是12的因數(shù)，12是2的倍數(shù)。再通過12÷6＝2得出12能被6整除，進而6是12的因數(shù)，12是6的倍數(shù)，大大簡化了敘述和記憶的過程。在這兒，用一個乘法算式2×6＝12可以同時說明“2和6都是12的因數(shù)，12是2的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)。”
接著，通過3×4＝12，進一步鞏固因數(shù)和倍數(shù)的概念。在學(xué)生熟練掌握了因數(shù)和倍數(shù)的概念以后，教材讓學(xué)生試著找出12的其他因數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生寫出兩個數(shù)的積等于12的另一個乘法算式1×12＝12，從而得出1和12也是12的因數(shù)。
最后，教材對整數(shù)0進行特殊說明，以明確本單元中數(shù)的研究范圍。因為數(shù)論只研究整數(shù)的性質(zhì)，所以，本單元中涉及到的數(shù)都是整數(shù)。由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)負(fù)整數(shù)，因此，本單元的整數(shù)與自然數(shù)同義。根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的定義，0是任何非零自然數(shù)的倍數(shù)，任何非零自然數(shù)都是0的因數(shù)。但是考慮到以后研究最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時，如果不排除0，很多問題無從討論，如討論0和5的最大公因數(shù)既沒有實際意義，也沒有數(shù)學(xué)意義，再如，如果把0考慮在內(nèi)，任意兩個自然數(shù)的最小公倍數(shù)就是0，這樣的研究沒有任何價值。因此，教材指出本單元研究的內(nèi)容一般不包括0，這樣就避免了一些不必要的麻煩。
教學(xué)建議
教學(xué)因數(shù)和倍數(shù)概念時，可以結(jié)合教材上的直觀圖（2行飛機，每行6架）引導(dǎo)學(xué)生列出乘法算式2×6=12或6×2=12，再根據(jù)所列的乘法算式直接給出因數(shù)和倍數(shù)的概念。接下來，再結(jié)合直觀圖（3行飛機，每行4架）進一步鞏固因數(shù)和倍數(shù)的概念。最后，讓學(xué)生脫離情境圖，想一想12還有哪些因數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生列出乘法算式1×12=12或12×1=12，概括出“1和12都是12的因數(shù)，12是1和它本身的倍數(shù)”。在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用一般的乘法算式a×b=c歸納出因數(shù)和倍數(shù)的概念：a、b都是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)。
教學(xué)時，應(yīng)注意以下四點：（1）雖然本套教材不是從過去的整除定義（形式上是除法算式）出發(fā)，而是通過一個乘法算式來引出因數(shù)和倍數(shù)概念，但在本質(zhì)上仍是以“整除”為基礎(chǔ)，只是略去了許多中間描述。因此，要注意，只有在這個乘法算式中的因數(shù)和積都是整數(shù)的情況下才能討論因數(shù)和倍數(shù)的概念。教學(xué)時，教師也可以舉出一些反例加以說明，如5×0.8＝4，雖然等式成立，但不能說5和0.8是4的因數(shù)，或4是5和0.8的倍數(shù)。（2）因數(shù)和倍數(shù)是一對相互依存的概念，不能單獨存在。a是b的因數(shù)，反過來b就是a的倍數(shù)，因此，描述因數(shù)或倍數(shù)時必須說清楚誰是誰的因數(shù)（或倍數(shù)），要引導(dǎo)學(xué)生使用比較規(guī)范的語言，如“2是12的因數(shù)，12是2的倍數(shù)”而不是“2是因數(shù)，12是倍數(shù)”，在課堂上或練習(xí)中學(xué)生如果出現(xiàn)類似的錯誤要及時加以糾正。（3）要注意區(qū)分乘法算式各部分名稱中的“因數(shù)”和本單元中的“因數(shù)”的聯(lián)系和區(qū)別。在同一個乘法算式中，兩者都是指乘號兩邊的整數(shù)，但前者是相對于“積”而言的，與“乘數(shù)”同義，可以是小數(shù)，而后者是相對于“倍數(shù)”而言的，與以前所說的“約數(shù)”同義，說“×是×的因數(shù)”時，兩者都只能是整數(shù)。（4）要注意區(qū)分“倍數(shù)”與前面學(xué)過的“倍”的聯(lián)系與區(qū)別。“倍”的概念比“倍數(shù)”要廣，如我們可以說“15是3的5倍”，也可以說“1.5是0.3的5倍”，但我們只能說“15是3的倍數(shù)”，卻不能說“1.5是0.3的倍數(shù)”。我們在求一個數(shù)的倍數(shù)時，運用的方法與“求一個數(shù)的幾倍是多少”是相同的，只是這里的“幾倍”都是指整數(shù)倍。
2. 例1。
編寫意圖
例1是教學(xué)一個數(shù)的因數(shù)的求法。教材直接提出問題“18可以由哪兩個數(shù)相乘得到？”引導(dǎo)學(xué)生利用因數(shù)的概念來求18的因數(shù)。在這里，每列出一個乘法算式，就可以求出18的一對因數(shù)，只要學(xué)生有序地寫出兩個數(shù)的乘積是18的所有乘法算式，就可以把因數(shù)找全。在此基礎(chǔ)上，再用集合圖表示出一個數(shù)的全部因數(shù)，為后面用交集形式表示兩個數(shù)的公因數(shù)打下基礎(chǔ)，使學(xué)生初步體會到一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的。
接下來，通過“做一做”進一步鞏固求一個數(shù)的因數(shù)的方法。
最后，以例1和“做一做”為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生抽象地概括出一個數(shù)的最小因數(shù)和最大因數(shù)分別是什么，總結(jié)出一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的結(jié)論，向?qū)W生滲透從個別到全體、從具體到一般的抽象歸納的思想方法。
教學(xué)建議
教學(xué)例1時，要引導(dǎo)學(xué)生從因數(shù)的概念出發(fā)去求18的因數(shù)，也就是想：哪兩個整數(shù)相乘的積是18？從每個滿足條件的乘法算式中可以找出18的一對因數(shù)。找的時候，要引導(dǎo)學(xué)生有序地思考。教學(xué)時，如果學(xué)生用除法思考，固定被除數(shù)18，改變除數(shù)，看除得的商是不是整數(shù)，如果是，則除數(shù)和商都是被除數(shù)的因數(shù)，這樣的思考方法也是應(yīng)該鼓勵的。等學(xué)生把18的所有因數(shù)都寫出來，再讓他們用集合的形式表示出來，為后面求兩個數(shù)的公因數(shù)做準(zhǔn)備。
然后，讓學(xué)生做“做一做”的題目。通過例1和“做一做”的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生觀察到每個數(shù)的最小因數(shù)是1，而最大因數(shù)是它本身，因此，它的因數(shù)的個數(shù)是有限的。
3. 例2。
編寫意圖
例2是教學(xué)一個數(shù)的倍數(shù)的求法。根據(jù)一個數(shù)的倍數(shù)的定義，可知該數(shù)和任意非零自然數(shù)之積都是該數(shù)的倍數(shù)。因此，2的倍數(shù)也就是2和任意非零自然數(shù)的乘積，學(xué)生在列乘法算式時就會發(fā)現(xiàn)這樣的算式是列不完的，因此，2的倍數(shù)的個數(shù)是無限的。接下來，也用集合圖表示出2的倍數(shù)，為后面學(xué)習(xí)用交集表示兩個數(shù)的公倍數(shù)打下基礎(chǔ)。
“做一做”中分別安排了讓學(xué)生求3、5的倍數(shù)的練習(xí)，一方面鞏固了對倍數(shù)概念的理解，另一方面，結(jié)合例2中2的倍數(shù)，為后面學(xué)習(xí)2、3、5的倍數(shù)的特征做準(zhǔn)備。
最后，與例1的編排相類似，教材通過求以上幾個數(shù)的倍數(shù)，使學(xué)生總結(jié)出：一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，只有最小的倍數(shù)，沒有最大的倍數(shù)，為后面學(xué)習(xí)最小公倍數(shù)打下基礎(chǔ)。
教材還用“你知道嗎？”介紹了完全數(shù)的概念，以豐富學(xué)生的數(shù)論知識，引導(dǎo)學(xué)生在課余時間探索完全數(shù)的性質(zhì)，也可以先求出教材上提供的幾個數(shù)的因數(shù)，然后驗證是否符合完全數(shù)的定義。
教學(xué)建議
教學(xué)例2時，可以參照例1的方法進行教學(xué)。在找一個數(shù)的倍數(shù)時，要引導(dǎo)學(xué)生從“這個數(shù)的整數(shù)倍”考慮，因此，可以從最小的倍數(shù)找起。學(xué)生找出了幾個2的倍數(shù)以后，教師可以提問2的倍數(shù)有多少個，引導(dǎo)學(xué)生通過想自然數(shù)的個數(shù)是無限的，進而想到2的自然數(shù)倍也是無限的，無法一一羅列，可以用省略號表示。在用集合圖表示2的倍數(shù)時，也要注意提醒學(xué)生在集合圈里寫出省略號。然后在完成“做一做”的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：一個數(shù)的最小倍數(shù)是幾？有沒有最大的倍數(shù)？引導(dǎo)學(xué)生自主得出結(jié)論。
4. 關(guān)于練習(xí)二中一些習(xí)題的說明和教學(xué)建議。
第2題，讓學(xué)生分別找出36和60的因數(shù)，在學(xué)生完成題目后，教師可以有意識地讓學(xué)生觀察一下有哪些數(shù)是這兩個數(shù)共同的因數(shù)，這些共同因數(shù)中最大的是什么，為后面學(xué)習(xí)“公因數(shù)”和“最大公因數(shù)”做準(zhǔn)備。
第3題，讓學(xué)生分別找出8和9的倍數(shù)，在學(xué)生完成題目后，教師可以有意識地讓學(xué)生觀察一下有哪些數(shù)是這兩個數(shù)共同的倍數(shù)，這些共同倍數(shù)中最小的是什么，為后面學(xué)習(xí)“公倍數(shù)”“最小公倍數(shù)”“互質(zhì)的兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積”等知識做準(zhǔn)備。
第5題，幫助學(xué)生辨析某些概念。如說因數(shù)和倍數(shù)時，必須說清楚誰是誰的因數(shù)（或倍數(shù)）。再如，任何一個非零自然數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)都是無限的，任何非零自然數(shù)都有因數(shù)1，等等。
第6題，通過猜數(shù)游戲鞏固因數(shù)和倍數(shù)的概念，第（1）題，使學(xué)生認(rèn)識到，隨著限制條件的增多，符合條件的數(shù)越來越少。實際上，題目中共有四個限制條件，先看42的因數(shù)有1、2、3、6、7、14、21、42，其中只有7、14、21、42是7的倍數(shù)，這四個數(shù)中只有14和42是2的倍數(shù)，其中只有42才是3的倍數(shù)，所以，符合條件的數(shù)只有42。第（2）、（3）題，都使學(xué)生進一步理解一個數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身。
第16頁的思考題，是通過兩個特殊的例子，引導(dǎo)學(xué)生通過不完全歸納，總結(jié)出以下的結(jié)論：如果兩個數(shù)都是一個數(shù)的倍數(shù)，那么這兩個數(shù)的和也是這個數(shù)的倍數(shù)。還可以引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)化的方式對這個結(jié)論加以證明：如果B是A的倍數(shù)，那么必然存在一個整數(shù)m，使B＝Am，如果C也是A的倍數(shù)，那么必然存在一個整數(shù)n，使C＝An，那么B＋C＝Am＋An＝A（m＋n），因此，B＋C也是A的倍數(shù)。這個結(jié)論還可以進一步擴展：如果有n個數(shù)都是一個數(shù)的倍數(shù)，那么這n個數(shù)的和也是這個數(shù)的倍數(shù)。
2. 2、5、3的倍數(shù)的特征
（第17～22頁）
這部分內(nèi)容是在因數(shù)、倍數(shù)的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，是求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的重要基礎(chǔ)，從而也是學(xué)習(xí)約分和通分的必要前提。學(xué)生的分?jǐn)?shù)運算是否熟練，取決于約分和通分掌握得是否熟練，而約分和通分是否熟練，在很大程度上取決于能不能很快地根據(jù)分子、分母的特征看出分子和分母有什么公因數(shù)，能不能很快地求出幾個分?jǐn)?shù)的分母的公倍數(shù)。因此，熟練掌握2、5、3的倍數(shù)的特征，具有十分重要的意義。
教材先教學(xué)2、5的倍數(shù)的特征，再教學(xué)3的倍數(shù)的特征。因為2、5的倍數(shù)的特征僅僅體現(xiàn)在個位上的數(shù)，比較明顯，容易理解。而3的倍數(shù)的特征，不能只從個位上的數(shù)來判定，必須把其各位上的數(shù)相加，看所得的和是否為3的倍數(shù)來判定，學(xué)生理解起來有一定的困難，因此把它放在2、5的倍數(shù)的特征后面教學(xué)。
1. 2的倍數(shù)的特征。
編寫意圖
教材從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和知識基礎(chǔ)出發(fā)，通過電影院里“雙號”的概念，使學(xué)生利用因數(shù)和倍數(shù)的概念，判斷出這些“雙數(shù)”都是2的倍數(shù)。然后引導(dǎo)學(xué)生觀察這些座位號的個位上的數(shù)的特點，進而概括出2的倍數(shù)的特征。
在學(xué)生總結(jié)了2的倍數(shù)的特征的基礎(chǔ)上，教材又介紹了偶數(shù)和奇數(shù)的概念。
教學(xué)建議
教學(xué)時，可以先讓學(xué)生觀察情境圖，并聯(lián)想在生活中哪兒還見過雙數(shù)、單數(shù)，如街道或胡同一邊的門牌號是雙數(shù)，另一邊是單數(shù)。接下來，讓學(xué)生思考：為什么這些數(shù)稱為雙數(shù)？它們和2有什么聯(lián)系？（學(xué)生在生活中已經(jīng)具備了“雙”即為“2個”的經(jīng)驗。）引導(dǎo)學(xué)生列出它們與2的倍數(shù)關(guān)系，說明這些數(shù)都是2的倍數(shù)。也可以讓學(xué)生聯(lián)系前面學(xué)過的2的倍數(shù)的求法，說出若干個2的倍數(shù)。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的個位上都是0、2、4、6、8，從而形成猜想：所有2的倍數(shù)的個位上都是0、2、4、6、8。因此，判斷一個數(shù)是不是2的倍數(shù)，只要看這個數(shù)的個位上是什么數(shù)就可以了。接下來，可以讓學(xué)生舉出一些數(shù)（包括比較大的數(shù)，如1045、8394）進行驗證。由于2的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，無法一一驗證，在這兒，只要學(xué)生通過觀察有限個2的倍數(shù)的特征，總結(jié)出所有2的倍數(shù)的特征就可以了，不要求嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明（見參考資料）。
接下來，介紹偶數(shù)和奇數(shù)的概念。我們在這個單元中一般不考慮0，在這兒需要作一個特殊說明，因為0也是2的倍數(shù)，因此0也是偶數(shù)。學(xué)生掌握了偶數(shù)和奇數(shù)的定義后，教師可以給出一些數(shù)，讓學(xué)生判斷它們是奇數(shù)還是偶數(shù)，也可以讓學(xué)生再舉出一些偶數(shù)和奇數(shù)。在此基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生將2的倍數(shù)的特征表示為“個位上是偶數(shù)的都是2的倍數(shù)”。
2. 5的倍數(shù)的特征。
編寫意圖
編排方式與2的倍數(shù)的特征相似，也是通過實際情境引入，讓學(xué)生在觀察5的倍數(shù)的個位上的數(shù)的特點基礎(chǔ)上概括出5的倍數(shù)的特征。
教學(xué)建議
教學(xué)時，可以參照2的倍數(shù)的特征的教法進行。完成“做一做”的題目時，可以使學(xué)生初步感受公倍數(shù)的概念，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：如果一個數(shù)既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，那它必定是10的倍數(shù)，也就是末尾有0的數(shù)（0除外）。
3. 3的倍數(shù)的特征。
編寫意圖
更加突出學(xué)生的自主探索，使學(xué)生在觀察--猜想--推翻猜想--再觀察--再猜想--驗證的過程中，概括出3的倍數(shù)的特征。教材上通過逐步增加提示的方式，減緩學(xué)生在概括時的思考難度。
教學(xué)建議
教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜測、驗證的完整過程。由于學(xué)生在概括2和5的倍數(shù)的特征時，只注意到了個位數(shù)，因此，學(xué)生在概括3的倍數(shù)時，也會很自然地尋找個位上的數(shù)的特征。但通過觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的個位上的數(shù)有的是3的倍數(shù)，有的不是，于是產(chǎn)生認(rèn)知沖突。接下來，經(jīng)過進一步提示，引導(dǎo)學(xué)生觀察各位上數(shù)的和，發(fā)現(xiàn)各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)。于是，形成新的猜想：一個數(shù)如果是3的倍數(shù)，那么它各位上數(shù)的和也是3的倍數(shù)。為了驗證這一猜想，可以補充一些其他的數(shù)，如49×3＝147，166×3＝498等，使學(xué)生進一步確認(rèn)這一結(jié)論的正確性。還可以任意寫一個數(shù)，利用這一結(jié)論來驗證，如3697，3＋6＋9＋7＝25，25不是3的倍數(shù)，而3697÷3也不能得到整數(shù)商，因此，它不是3的倍數(shù)。通過這樣的方式也使學(xué)生認(rèn)識到：找出某個規(guī)律后，還要找出一些正面的、反面的例子進行檢驗，看是不是普遍適用。
為了使學(xué)生更好地掌握3的倍數(shù)的特征，進行課堂練習(xí)時，還可以把一些數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)經(jīng)過不同的排列，再讓學(xué)生判斷，以加深對“各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)”的理解。如完成“做一做”第1題時，學(xué)生判斷完45是3的倍數(shù)后，教師可以再讓學(xué)生判斷一下54是不是3的倍數(shù)。
完成“做一做”第2題時，要引導(dǎo)學(xué)生有序地思考問題。第18頁的“做一做”已經(jīng)有所鋪墊，學(xué)生已經(jīng)知道只有末尾是0的數(shù)才能同時是2和5的倍數(shù)，而此題中所求的數(shù)又是一個三位數(shù)，所以，就要從幾百幾十中找這樣的數(shù)，這樣，每增加一個條件，符合條件的數(shù)的范圍就縮小一些，通過層層“篩選”，求出符合條件的數(shù)是120。
利用2、5、3的倍數(shù)的特征來判斷一個數(shù)是不是2、5或3的倍數(shù)，其方法是比較容易掌握的，但要形成較好的數(shù)感，達(dá)到熟練判斷的程度，也不是一、兩節(jié)課所能解決的，還需要進行較多的練習(xí)進行鞏固。
4. 關(guān)于練習(xí)三中一些習(xí)題的說明和教學(xué)建議。
第2題，是讓學(xué)生尋找生活中的奇數(shù)和偶數(shù)，應(yīng)鼓勵學(xué)生盡量多地發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)信息，如住幾號樓，公共汽車是幾路的，全村有幾戶人家，全班有多少人，等等。有了這些數(shù)據(jù)后，還可以在后面的練習(xí)中進一步判斷它們是不是2、5、3的倍數(shù)。
第5題，是一個解決實際問題的題目。由于媽媽買的是一些馬蹄蓮和郁金香，馬蹄蓮10元1枝，所以它的總價是10的倍數(shù)，也就是整十?dāng)?shù)，而郁金香是5元1枝，所以它的總價是5的倍數(shù)，個位上是0或5，兩者合起來的總價一定是幾十元或幾十五元，因此，服務(wù)員找的錢數(shù)不對。
第7題是開放題，要運用3的倍數(shù)的特征來解決。如想“□7是3的倍數(shù)”，就要想“□＋7是3的倍數(shù)”，□中符合條件的數(shù)有2、5、8。
第8題也是開放題，要找出一個偶數(shù)，同時又是3的倍數(shù)，可以先確定該數(shù)的個位上的數(shù)，再根據(jù)3的倍數(shù)的特征來確定其他位的數(shù)。而要找一個奇數(shù)，同時又是5的倍數(shù)，也是先確定個位上的數(shù)必須是5，其他數(shù)位上可以取任意數(shù)。
第10題，可以先把從4張卡片里取3張所能組成的所有三位數(shù)列出來：430、403、340、304，450、405、540、504，350、305、530、503，435、453、345、354、534、543。羅列的時候，要引導(dǎo)學(xué)生采用有序的思考方式，保證不重復(fù)、不遺漏。然后再分別看這些數(shù)屬于下面的哪一類。也可以先根據(jù)下面各類數(shù)的特點確定范圍，如這些數(shù)字能組成的偶數(shù)，個位數(shù)只能是0和4，那么相應(yīng)的數(shù)就有430、340、350、530、450、540，304、504、354、534。再如，由于這4張卡片中的3個數(shù)相加之和是3的倍數(shù)的情況有4＋5＋0＝9，4+3+5=12，因此能組成的3的倍數(shù)有450、405、540、504；345、354、435、453、534、543。教學(xué)時，還可以把本題進一步拓展，如讓學(xué)生思考用這4張卡片能組成的3的倍數(shù)中，一位數(shù)有哪些，兩位數(shù)、四位數(shù)呢？
第11*題，是讓學(xué)生進一步探索偶數(shù)和奇數(shù)的性質(zhì)。練習(xí)時，可以讓學(xué)生結(jié)合具體的數(shù)來理解。
3. 質(zhì)數(shù)和合數(shù)
（第23～26頁）
在數(shù)論中，有關(guān)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的理論一直吸引著數(shù)學(xué)家們不斷探索。例如，我們已經(jīng)知道質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無限的，但人們?nèi)栽诓粩嗟貙ふ腋蟮馁|(zhì)數(shù)，1996年9月初美國的科學(xué)家找到了一個新的最大質(zhì)數(shù)（21257787-1）。再比如，1742年，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出了著名的“哥德巴赫猜想”：任何大于2的偶數(shù)，都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)之和，這一數(shù)學(xué)王冠上的明珠至今仍吸引著無數(shù)人孜孜以求。因此，在質(zhì)數(shù)和合數(shù)的世界里充滿了神奇的數(shù)學(xué)魅力。
在小學(xué)階段，只是讓學(xué)生在因數(shù)、倍數(shù)的基礎(chǔ)上初步掌握質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念，為后面學(xué)習(xí)求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)以及約分、通分打下基礎(chǔ)。在本單元，要求學(xué)生能用自己的方法找出100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，并熟練判斷20以內(nèi)的數(shù)哪個是質(zhì)數(shù)，哪個是合數(shù)。
1. 質(zhì)數(shù)和合數(shù)。
編寫意圖
教材首先讓學(xué)生找出1～20各數(shù)的全部因數(shù)，然后按照每個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)進行分類。在此基礎(chǔ)上給出質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念。同時說明1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，以加深學(xué)生對某些特殊數(shù)的認(rèn)識。
教學(xué)建議
教學(xué)時，可以先復(fù)習(xí)因數(shù)的概念，然后再讓學(xué)生找出1～20各數(shù)的所有因數(shù)，并引導(dǎo)學(xué)生觀察這些數(shù)的因數(shù)有什么不同，可以怎樣分類。學(xué)生通過自主探索，會自覺地把這些數(shù)分成三類：只有因數(shù)1的；只有1和它本身這兩個因數(shù)的；除了1和本身之外還有其他因數(shù)的。在分類的基礎(chǔ)上，再引出質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念，說明只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫質(zhì)數(shù)，有兩個以上因數(shù)的數(shù)叫合數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。學(xué)生掌握了質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念以后，教師可以出示幾個數(shù)，讓學(xué)生判斷是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，也可以由學(xué)生自己分別寫出幾個質(zhì)數(shù)和幾個合數(shù)。
2. 例1。
編寫意圖
本例讓學(xué)生運用質(zhì)數(shù)的概念找出100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)。學(xué)生通過此例可以學(xué)會找質(zhì)數(shù)的一般方法“篩法”，即劃掉每個質(zhì)數(shù)的所有倍數(shù)（它本身除外），剩下的都是質(zhì)數(shù)。由于小學(xué)用到的質(zhì)數(shù)比較少，所以教材中只要求學(xué)生找出100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)。這些質(zhì)數(shù)不必要求學(xué)生都背熟，但是熟悉20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)還是有必要的。
分解質(zhì)因數(shù)的內(nèi)容雖然不作為正式教學(xué)內(nèi)容，但作為一種重要的方法技能，教材還是把它安排在“你知道嗎？”中進行介紹，供學(xué)生閱讀參考。
教學(xué)建議
教學(xué)時，盡量采取讓學(xué)生自己完成任務(wù)的教學(xué)方式。學(xué)生在找100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)時，所用的方法可能是多樣化的。例如，有的學(xué)生是先找每個數(shù)分別有幾個因數(shù)，然后再根據(jù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義進行判斷。還有的學(xué)生采用的是“排除法”，因為質(zhì)數(shù)只有因數(shù)1和它本身，所以，每個質(zhì)數(shù)后面該質(zhì)數(shù)的所有倍數(shù)都是合數(shù)，如2是質(zhì)數(shù)，但是2的倍數(shù)（2本身除外）如4，6，8，10，…都是合數(shù)，3是質(zhì)數(shù)，它的倍數(shù)（3本身除外）如6，9，12，15，…也都是合數(shù)。因此，只要把所有質(zhì)數(shù)后面的倍數(shù)都劃去，剩下的就都是質(zhì)數(shù)了。劃完后，還可以讓學(xué)生體會一下劃到幾的倍數(shù)就可以了。由于自然數(shù)是無限的，所以質(zhì)數(shù)和合數(shù)也是無限的。本例中只要求學(xué)生列出100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表，這是因為較大的質(zhì)數(shù)不常用。但20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)用得較多，最好應(yīng)提醒學(xué)生逐步記住。
到本節(jié)教材為止，已經(jīng)出現(xiàn)了因數(shù)、倍數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，有些概念學(xué)生容易混淆，如學(xué)生往往把質(zhì)數(shù)和奇數(shù)、合數(shù)和偶數(shù)混同起來，因此教學(xué)時應(yīng)注意讓學(xué)生辨析這些概念。例如，可讓學(xué)生按照不同的標(biāo)準(zhǔn)對自然數(shù)進行分類，按是不是2的倍數(shù)可以把整數(shù)分成偶數(shù)和奇數(shù)兩類，按約數(shù)的多少把非零自然數(shù)分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1三類。也可以結(jié)合學(xué)生自行整理的質(zhì)數(shù)表，讓學(xué)生觀察和思考：是不是所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)？引導(dǎo)學(xué)生舉出反例，如2是質(zhì)數(shù)，但它不是奇數(shù)；也不是所有的奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)，如9、35都是奇數(shù)，但都不是質(zhì)數(shù)；也不是所有的偶數(shù)都是合數(shù)，如偶數(shù)2就不是合數(shù)。
3. 關(guān)于練習(xí)四中一些習(xí)題的說明和教學(xué)建議。
第1題，主要是讓學(xué)生對一些概念進一步加以區(qū)別。判斷時，要引導(dǎo)學(xué)生說明理由或舉出反例。如第（3）小題，使學(xué)生進一步記住1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。第（4）小題，因為偶數(shù)2是質(zhì)數(shù)，它和其他質(zhì)數(shù)的和都是奇數(shù)，因此，題中的說法不正確。
第3題，讓學(xué)生根據(jù)條件求數(shù)，要求學(xué)生對20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)比較熟悉。如第1小題，可以先通過“兩個數(shù)的積是21”知道這兩個數(shù)是21的一對因數(shù)，這樣的因數(shù)只有3和7或1和21，而前者正好滿足3＋7=10且都是質(zhì)數(shù)。再如第2小題，滿足“兩個質(zhì)數(shù)之和是20”的有兩對質(zhì)數(shù)：3和17、7和13，而后者又同時滿足7×13=91。
第4題，是帶著練習(xí)2、5、3的倍數(shù)的特征。
第5題，是用游戲的形式引出“哥德巴赫猜想”，使學(xué)生通過舉例的方式看到：大于2的偶數(shù)，可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和。但舉例只能舉出有限個，是不是所有大于2的偶數(shù)都滿足這一結(jié)論呢？從而引起學(xué)生繼續(xù)探求的興趣，也很自然地引出下面的閱讀材料。