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圓錐曲線方程教學(xué)的改進(jìn)
人教版《全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書·數(shù)學(xué)》第二冊（上）在第八章介紹了“圓錐曲線方程”。在對“雙曲線”教學(xué)的處理上，筆者有三處改進(jìn)意見。
一、一個(gè)教學(xué)實(shí)驗(yàn)
對教材第106頁例2的教學(xué)，筆者在所任教的兩個(gè)班做了這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)：在甲班按教材上的解法向?qū)W生講解，不到10分時(shí)間完成該題的講解；在乙班提前兩天布置了這樣一道作業(yè)題：
解方程組
學(xué)生對此方程組的解法有下列6種：
解法1：
由①×＋②，得a2＝16。
把a(bǔ)2＝16代入①，得b2＝9（下略）。
解法2：
由①－②，得－＝0，
即a2＝。
把a(bǔ)2＝代入①，得b2＝9，把b2＝9代入a2＝，得a2＝16（下略）。
解法3：
由①，得32b2－9a2＝a2b2。③
由②，得400b2－81a2＝16a2b2。④
由③×16－④，得16b2－9a2＝0，即a2＝（下略）。
解法4：
由①，得＝。
把＝代入②，得－＝1，即a2＝16（下略）。
解法5：令m＝a2，n＝b2，
則原方程組化為
（下略）。
解法6：令x＝，y＝，則原方程組化為
解這個(gè)方程組，得
即a2＝16，b2＝9（下略）。
當(dāng)講到教材第106頁例2時(shí)，與學(xué)生一起列出方程組
學(xué)生看到這個(gè)方程組后，聯(lián)想到兩天前所做的作業(yè)，他們議論紛紛，有的學(xué)生的解法與教材一致，有的學(xué)生的解法與教材不一致。筆者用投影儀顯示作業(yè)中6種不同的解法，學(xué)生認(rèn)真分析6種不同的解法。──通過一個(gè)簡單的問題調(diào)動(dòng)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。筆者沒有就此罷休，及時(shí)提出對例題解法有沒有值得改進(jìn)的地方，教室一下子就安靜下來了，大家都在積極思考著這個(gè)問題。過了一會(huì)兒，有的學(xué)生就抬起頭看著老師，這說明他們已經(jīng)找到了答案。學(xué)生受教材中方程組的啟發(fā)，認(rèn)為此題可以直接設(shè)所求雙曲線方程為my2－nx2＝1（m＞0，n＞0），這樣設(shè)計(jì)計(jì)算量較小。其實(shí)當(dāng)橢圓或雙曲線中心在原點(diǎn)且對稱軸為坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)為Ａx2＋by2＝1的形式計(jì)算量更小。在乙班完成這一例題的講解用的時(shí)間是甲班的2倍，而乙班課堂氣氛和學(xué)習(xí)效果是甲班所不能比的。
在甲班的教學(xué)基本上照本宣科，僅用了待定系數(shù)法和換元法；而在乙班，除了用待定系數(shù)法和換元法，還用了整體代換思想、加減消元法、消常數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法，更可貴的是，學(xué)生受教材解題過程的啟示，認(rèn)為直接設(shè)my2－nx2＝1（m＞0，n＞0）可使計(jì)算量減小。
通過這一實(shí)驗(yàn)，可以得到一些有益的啟示：1．可不時(shí)將后學(xué)內(nèi)容置前。將學(xué)生還沒有學(xué)到但可以解決的局部問題置前，讓他們自己解決，這樣做可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，避免教材和教師的局限性，還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，學(xué)生對某些問題的解決，往往可以超出教師的想象。2．要充分重視教材中例題的教學(xué)。當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)有一種不良傾向，認(rèn)為教材中的例習(xí)題太容易，而高考題目太難，于是在上新課時(shí)，對教材例題講解不夠重視，而是草草了事，然后補(bǔ)充大量較難例題占用課堂時(shí)間。其實(shí)這樣做不可取，教材例題是教材編者精心挑選的，是數(shù)學(xué)題目的精品，如果不好好利用它們，實(shí)在是巨大浪費(fèi)。對教材例題不深入鉆研就不知道它的價(jià)值。3．學(xué)生自己能夠解決的問題要堅(jiān)決讓學(xué)生自己解決。由于學(xué)生解決問題的途徑多而且有些十分巧妙，如果教師代替學(xué)生來解決問題，往往會(huì)淹沒學(xué)生很多好的解法。一定要相信學(xué)生是聰明的。
二、雙曲線漸近方程的證明改進(jìn)
對于雙曲線漸近方程的證明，教材采用的是間接法，也可以直接證明。
先取雙曲線在第一象限內(nèi)的部分，這一部分的方程可寫為
y＝（x＞a）。
設(shè)Ｍ（m＞a）是它上面的點(diǎn)，由點(diǎn)到直線距離公式，可得Ｍ到直線y＝x的距離
d＝
＝。
當(dāng)x逐漸增大時(shí)，m逐漸增大，m＋逐漸增大，當(dāng)m無限增大，m＋無限增大，d接近于0，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ＯＮ的下方逐漸接近于射線ＯＮ。
在其他象限內(nèi)，也可以證明類似的情況。我們把兩條直線y＝±x叫做雙曲線的漸近線。
三、一個(gè)例題教學(xué)設(shè)計(jì)的改進(jìn)
例雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（圖1），它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高55m，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)，求出此雙曲線的方程（精確到1m）（教材第111頁例2）。
解：如圖2建立直角坐標(biāo)系xＯy，使小圓的直徑ＡＡ′在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合。這時(shí)，上、下口的直徑ＣＣ′、ＢＢ′平行于x軸，且｜ＣＣ′｜＝13×2，｜ＢＢ′｜＝25×2。
設(shè)雙曲線的方程為－＝1（a＞0，b＞0），令點(diǎn)Ｃ的坐標(biāo)為（13，y1），點(diǎn)Ｂ的坐標(biāo)為（25，y2），因?yàn)辄c(diǎn)Ｂ、Ｃ在雙曲線上，所以－＝1，－＝1。
又y1＞0，y2＜0，所以y1＝b，y2＝b。
而y1－y2＝55，所以b＝55，
即b＝≈25。
從而所求雙曲線方程為－＝1。
上述解法與教材的區(qū)別是：設(shè)Ｂ點(diǎn)和Ｃ點(diǎn)方式不一樣，教材中解方程時(shí)計(jì)算量相當(dāng)大，而上面的解法只需用計(jì)算器算出即可。
在解析幾何中，解題計(jì)算量是一個(gè)難點(diǎn)，合理設(shè)所求曲線方程或點(diǎn)的坐標(biāo)，可以減少計(jì)算量。
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