函數的最值與導數高二數學課后練習題

時間：2021-06-14 14:09:35 試題我要投稿

函數的最值與導數高二數學課后練習題

　　一、選擇題

函數的最值與導數高二數學課后練習題

　　1.函數y=f(x)在區間[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，則f(x)()

　　A.等于0 B.大于0

　　C.小于0 D.以上都有可能

　　[答案] A

　　[解析] ∵M=m，y=f(x)是常數函數

　　f(x)=0，故應選A.

　　2.設f(x)=14x4+13x3+12x2在[-1,1]上的最小值為()

　　A.0 B.-2

　　C.-1 D.1312

　　[答案] A

　　[解析] y=x3+x2+x=x(x2+x+1)

　　令y=0，解得x=0.

　　f(-1)=512，f(0)=0，f(1)=1312

　　f(x)在[-1,1]上最小值為0.故應選A.

　　3.函數y=x3+x2-x+1在區間[-2,1]上的最小值為()

　　A.2227 B.2

　　C.-1 D.-4

　　[答案] C

　　[解析] y=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)

　　令y=0解得x=13或x=-1

　　當x=-2時，y=-1;當x=-1時，y=2;

　　當x=13時，y=2227;當x=1時，y=2.

　　所以函數的最小值為-1，故應選C.

　　4.函數f(x)=x2-x+1在區間[-3,0]上的最值為()

　　A.最大值為13，最小值為34

　　B.最大值為1，最小值為4

　　C.最大值為13，最小值為1

　　D.最大值為-1，最小值為-7

　　[答案] A

　　[解析] ∵y=x2-x+1，y=2x-1，

　　令y=0，x=12，f(-3)=13，f12=34，f(0)=1.

　　5.函數y=x+1-x在(0,1)上的最大值為()

　　A.2 B.1

　　C.0 D.不存在

　　[答案] A

　　[解析] y=12x-121-x=121-x-xx1-x

　　由y=0得x=12，在0，12上y0，在12，1上

　　y0.x=12時y極大=2，

　　又x(0,1)，ymax=2.

　　6.函數f(x)=x4-4x (|x|1)()

　　A.有最大值，無最小值

　　B.有最大值，也有最小值

　　C.無最大值，有最小值

　　D.既無最大值，也無最小值

　　[答案] D

　　[解析] f(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).

　　令f(x)=0，得x=1.又x(-1,1)

　　該方程無解，

　　故函數f(x)在(-1,1)上既無極值也無最值.故選D.

　　7.函數y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分別是()

　　A.5，-15 B.5,4

　　C.-4，-15 D.5，-16

　　[答案] A

　　[解析] y=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)，

　　令y=0，得x=2或x=-1(舍).

　　∵f(0)=5，f(2)=-15，f(3)=-4，

　　ymax=5，ymin=-15，故選A.

　　8.已知函數y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值為154，則a等于()

　　A.-32 B.12

　　C.-12 D.12或-32

　　[答案] C

　　[解析] y=-2x-2，令y=0得x=-1.

　　當a-1時，最大值為f(-1)=4，不合題意.

　　當-1

　　最大值為f(a)=-a2-2a+3=154，

　　解得a=-12或a=-32(舍去).

　　9.若函數f(x)=x3-12x在區間(k-1，k+1)上不是單調函數，則實數k的取值范圍是

　　()

　　A.k-3或-11或k3

　　B.-3

　　C.-2

　　D.不存在這樣的實數

　　[答案] B

　　[解析] 因為y=3x2-12，由y0得函數的增區間是(-，-2)和(2，+)，由y0，得函數的減區間是(-2,2)，由于函數在(k-1，k+1)上不是單調函數，所以有k-1-2

　　10.函數f(x)=x3+ax-2在區間[1，+)上是增函數，則實數a的取值范圍是()

　　A.[3，+) B.[-3，+)

　　C.(-3，+) D.(-，-3)

　　[答案] B

　　[解析] ∵f(x)=x3+ax-2在[1，+)上是增函數，f(x)=3x2+a0在[1，+)上恒成立

　　即a-3x2在[1，+)上恒成立

　　又∵在[1，+)上(-3x2)max=-3

　　a-3，故應選B.

　　二、填空題

　　11.函數y=x32+(1-x)32，01的最小值為______.

　　[答案] 22

　　由y0得x12，由y0得x12.

　　此函數在0，12上為減函數，在12，1上為增函數，最小值在x=12時取得，ymin=22.

　　12.函數f(x)=5-36x+3x2+4x3在區間[-2，+)上的最大值________，最小值為________.

　　[答案] 不存在;-2834

　　[解析] f(x)=-36+6x+12x2，

　　令f(x)=0得x1=-2，x2=32;當x32時，函數為增函數，當-232時，函數為減函數，所以無最大值，又因為f(-2)=57，f32=-2834，所以最小值為-2834.

　　13.若函數f(x)=xx2+a(a0)在[1，+)上的最大值為33，則a的值為________.

　　[答案] 3-1

　　[解析] f(x)=x2+a-2x2(x2+a)2=a-x2(x2+a)2

　　令f(x)=0，解得x=a或x=-a(舍去)

　　當xa時，f(x)

　　當x=a時，f(x)=a2a=33，a=321，不合題意.

　　f(x)max=f(1)=11+a=33，解得a=3-1.

　　14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的最大值為M，最小值為m，則M-m=________.

　　[答案] 32

　　[解析] f(x)=3x2-12

　　由f(x)0得x2或x-2，

　　由f(x)0得-2

　　f(x)在[-3，-2]上單調遞增，在[-2,2]上單調遞減，在[2,3]上單調遞增.

　　又f(-3)=17，f(-2)=24，f(2)=-8，

　　f(3)=-1，

　　最大值M=24，最小值m=-8，

　　M-m=32.

　　三、解答題

　　15.求下列函數的最值：

　　(1)f(x)=sin2x-x-x

　　(2)f(x)=x+1-x2.

　　[解析] (1)f(x)=2cos2x-1.

　　令f(x)=0，得cos2x=12.

　　又x2，2，2x，]，

　　2x=3，x=6.

　　函數f(x)在-2上的兩個極值分別為

　　f6=32-6，f-6=-32+6.

　　又f(x)在區間端點的取值為

　　f2，f-2.

　　比較以上函數值可得f(x)max=2，f(x)min=-2.

　　(2)∵函數f(x)有意義，

　　必須滿足1-x20，即-11，

　　函數f(x)的定義域為[-1,1].

　　f(x)=1+12(1-x2)-12(1-x2)=1-x1-x2 .

　　令f(x)=0，得x=22 .

　　f(x)在[-1,1]上的極值為

　　f22=22+1-222=2.

　　又f(x)在區間端點的函數值為f(1)=1，f(-1)=-1，比較以上函數值可得f(x)max=2，f(x)min=-1.

　　16.設函數f(x)=ln(2x+3)+x2.求f(x)在區間-34，14上的最大值和最小值.

　　[解析] f(x)的定義域為-32，+.

　　f(x)=2x+22x+3=4x2+6x+22x+3

　　=2(2x+1)(x+1)2x+3.

　　當-320;

　　當-1

　　當x-12時，f(x)0，

　　所以f(x)在-34，14上的最小值為

　　f-12=ln2+14.

　　又f-34-f14=ln32+916-ln72-116=ln37+12=121-ln4990，

　　所以f(x)在區間-34，14上的最大值為 f14=ln72+116.

　　17.(2016安徽理，17)設a為實數，函數f(x)=ex-2x+2a，xR.

　　(1)求f(x)的單調區間及極值;

　　(2)求證：當aln2-1且x0時，exx2-2ax+1.

　　[分析] 本題考查導數的運算，利用導數研究函數的單調區間，求函數的極值和證明函數不等式，考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力.

　　解題思路是：(1)利用導數的符號判定函數的單調性，進而求出函數的極值.(2)將不等式轉化構造函數，再利用函數的單調性證明.

　　[解析] (1)解：由f(x)=ex-2x+2a，xR知f(x)=ex-2，xR.

　　令f(x)=0，得x=ln2.于是當x變化時，f(x)，f(x)的'變化情況如下表：

　　x (-，ln2) ln2 (ln2，+)

　　f(x) - 0 +

　　f(x) 單調遞減 ? 2(1-ln2+a) 單調遞增 ?

　　故f(x)的單調遞減區間是(-，ln2)，單調遞增區間是(ln2，+)，

　　f(x)在x=ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).

　　(2)證明：設g(x)=ex-x2+2ax-1，xR，于是g(x)=ex-2x+2a，xR.

　　由(1)知當aln2-1時，g(x)最小值為g(ln2)=2(1-ln2+a)0.

　　于是對任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R內單調遞增.

　　于是當aln2-1時，對任意x(0，+)，都有g(x)g(0).

　　而g(0)=0，從而對任意x(0，+)，g(x)0.

　　即ex-x2+2ax-10，故exx2-2ax+1.

　　18.已知函數f(x)=4x2-72-x，x[0,1].

　　(1)求f(x)的單調區間和值域;

　　(2)設a1，函數g(x)=x3-3a2x-2a，x[0,1].若對于任意x1[0,1]，總存在x0[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范圍.

　　[解析] (1)對函數f(x)求導，得

　　f(x)=-4x2+16x-7(2-x)2=-(2x-1)(2x-7)(2-x)2

　　令f(x)=0解得x=12或x=72.

　　當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：

　　x 0 (0，12)

　　(12，1)

　　f(x) - 0 +

　　f(x) -72

　　? -4 ? -3

　　所以，當x(0，12)時，f(x)是減函數;

　　當x12，1時，f(x)是增函數.

　　當x[0,1]時，f(x)的值域為[-4，-3].

　　(2)g(x)=3(x2-a2).

　　因為a1，當x(0,1)時，g(x)0.

　　因此當x(0,1)時，g(x)為減函數，從而當x[0,1]時有g(x)[g(1)，g(0)].

　　又g(1)=1-2a-3a2，g(0)=-2a，即x[0,1]時有g(x)[1-2a-3a2，-2a].

　　任給x1[0,1]，f(x1)[-4，-3]，存在x0[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立，

　　則[1-2a-3a2，-2a][-4，-3].

　　即1-2a-3a2-4，①-2a-3.②

　　解①式得a1或a解②式得a32.

　　又a1，故a的取值范圍為132.

　　選修2-2 1.3.3 函數的最值與導數

　　一、選擇題

　　1.函數y=f(x)在區間[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，則f(x)()

　　A.等于0 B.大于0

　　C.小于0 D.以上都有可能

　　[答案] A

　　[解析] ∵M=m，y=f(x)是常數函數

　　f(x)=0，故應選A.

　　2.設f(x)=14x4+13x3+12x2在[-1,1]上的最小值為()

　　A.0 B.-2

　　C.-1 D.1312

　　[答案] A

　　[解析] y=x3+x2+x=x(x2+x+1)

　　令y=0，解得x=0.

　　f(-1)=512，f(0)=0，f(1)=1312

　　f(x)在[-1,1]上最小值為0.故應選A.

　　3.函數y=x3+x2-x+1在區間[-2,1]上的最小值為()

　　A.2227 B.2

　　C.-1 D.-4

　　[答案] C

　　[解析] y=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)

　　令y=0解得x=13或x=-1

　　當x=-2時，y=-1;當x=-1時，y=2;

　　當x=13時，y=2227;當x=1時，y=2.

　　所以函數的最小值為-1，故應選C.

　　4.函數f(x)=x2-x+1在區間[-3,0]上的最值為()

　　A.最大值為13，最小值為34

　　B.最大值為1，最小值為4

　　C.最大值為13，最小值為1

　　D.最大值為-1，最小值為-7

　　[答案] A

　　[解析] ∵y=x2-x+1，y=2x-1，

　　令y=0，x=12，f(-3)=13，f12=34，f(0)=1.

　　5.函數y=x+1-x在(0,1)上的最大值為()

　　A.2 B.1

　　C.0 D.不存在

　　[答案] A

　　[解析] y=12x-121-x=121-x-xx1-x

　　由y=0得x=12，在0，12上y0，在12，1上

　　y0.x=12時y極大=2，

　　又x(0,1)，ymax=2.

　　6.函數f(x)=x4-4x (|x|1)()

　　A.有最大值，無最小值

　　B.有最大值，也有最小值

　　C.無最大值，有最小值

　　D.既無最大值，也無最小值

　　[答案] D

　　[解析] f(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).

　　令f(x)=0，得x=1.又x(-1,1)

　　該方程無解，

　　故函數f(x)在(-1,1)上既無極值也無最值.故選D.

　　7.函數y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分別是()

　　A.5，-15 B.5,4

　　C.-4，-15 D.5，-16

　　[答案] A

　　[解析] y=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)，

　　令y=0，得x=2或x=-1(舍).

　　∵f(0)=5，f(2)=-15，f(3)=-4，

　　ymax=5，ymin=-15，故選A.

　　8.已知函數y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值為154，則a等于()

　　A.-32 B.12

　　C.-12 D.12或-32

　　[答案] C

　　[解析] y=-2x-2，令y=0得x=-1.

　　當a-1時，最大值為f(-1)=4，不合題意.

　　當-1

　　最大值為f(a)=-a2-2a+3=154，

　　解得a=-12或a=-32(舍去).

　　9.若函數f(x)=x3-12x在區間(k-1，k+1)上不是單調函數，則實數k的取值范圍是

　　()

　　A.k-3或-11或k3

　　B.-3

　　C.-2

　　D.不存在這樣的實數

　　[答案] B

　　[解析] 因為y=3x2-12，由y0得函數的增區間是(-，-2)和(2，+)，由y0，得函數的減區間是(-2,2)，由于函數在(k-1，k+1)上不是單調函數，所以有k-1-2

　　10.函數f(x)=x3+ax-2在區間[1，+)上是增函數，則實數a的取值范圍是()

　　A.[3，+) B.[-3，+)

　　C.(-3，+) D.(-，-3)

　　[答案] B

　　[解析] ∵f(x)=x3+ax-2在[1，+)上是增函數，f(x)=3x2+a0在[1，+)上恒成立

　　即a-3x2在[1，+)上恒成立

　　又∵在[1，+)上(-3x2)max=-3

　　a-3，故應選B.

　　二、填空題

　　11.函數y=x32+(1-x)32，01的最小值為______.

　　[答案] 22

　　由y0得x12，由y0得x12.

　　此函數在0，12上為減函數，在12，1上為增函數，最小值在x=12時取得，ymin=22.

　　12.函數f(x)=5-36x+3x2+4x3在區間[-2，+)上的最大值________，最小值為________.

　　[答案] 不存在;-2834

　　[解析] f(x)=-36+6x+12x2，

　　令f(x)=0得x1=-2，x2=32;當x32時，函數為增函數，當-232時，函數為減函數，所以無最大值，又因為f(-2)=57，f32=-2834，所以最小值為-2834.

　　13.若函數f(x)=xx2+a(a0)在[1，+)上的最大值為33，則a的值為________.

　　[答案] 3-1

　　[解析] f(x)=x2+a-2x2(x2+a)2=a-x2(x2+a)2

　　令f(x)=0，解得x=a或x=-a(舍去)

　　當xa時，f(x)

　　當x=a時，f(x)=a2a=33，a=321，不合題意.

　　f(x)max=f(1)=11+a=33，解得a=3-1.

　　14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的最大值為M，最小值為m，則M-m=________.

　　[答案] 32

　　[解析] f(x)=3x2-12

　　由f(x)0得x2或x-2，

　　由f(x)0得-2

　　f(x)在[-3，-2]上單調遞增，在[-2,2]上單調遞減，在[2,3]上單調遞增.

　　又f(-3)=17，f(-2)=24，f(2)=-8，

　　f(3)=-1，

　　最大值M=24，最小值m=-8，

　　M-m=32.

　　三、解答題

　　15.求下列函數的最值：

　　(1)f(x)=sin2x-x-x

　　(2)f(x)=x+1-x2.

　　[解析] (1)f(x)=2cos2x-1.

　　令f(x)=0，得cos2x=12.

　　又x2，2，2x，]，

　　2x=3，x=6.

　　函數f(x)在-2上的兩個極值分別為

　　f6=32-6，f-6=-32+6.

　　又f(x)在區間端點的取值為

　　f2，f-2.

　　比較以上函數值可得f(x)max=2，f(x)min=-2.

　　(2)∵函數f(x)有意義，

　　必須滿足1-x20，即-11，

　　函數f(x)的定義域為[-1,1].

　　f(x)=1+12(1-x2)-12(1-x2)=1-x1-x2 .

　　令f(x)=0，得x=22 .

　　f(x)在[-1,1]上的極值為

　　f22=22+1-222=2.

　　又f(x)在區間端點的函數值為f(1)=1，f(-1)=-1，比較以上函數值可得f(x)max=2，f(x)min=-1.

　　16.設函數f(x)=ln(2x+3)+x2.求f(x)在區間-34，14上的最大值和最小值.

　　[解析] f(x)的定義域為-32，+.

　　f(x)=2x+22x+3=4x2+6x+22x+3

　　=2(2x+1)(x+1)2x+3.

　　當-320;

　　當-1

　　當x-12時，f(x)0，

　　所以f(x)在-34，14上的最小值為

　　f-12=ln2+14.

　　又f-34-f14=ln32+916-ln72-116=ln37+12=121-ln4990，

　　所以f(x)在區間-34，14上的最大值為 f14=ln72+116.

　　17.(2016安徽理，17)設a為實數，函數f(x)=ex-2x+2a，xR.

　　(1)求f(x)的單調區間及極值;

　　(2)求證：當aln2-1且x0時，exx2-2ax+1.

　　[分析] 本題考查導數的運算，利用導數研究函數的單調區間，求函數的極值和證明函數不等式，考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力.

　　解題思路是：(1)利用導數的符號判定函數的單調性，進而求出函數的極值.(2)將不等式轉化構造函數，再利用函數的單調性證明.

　　[解析] (1)解：由f(x)=ex-2x+2a，xR知f(x)=ex-2，xR.

　　令f(x)=0，得x=ln2.于是當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：

　　x (-，ln2) ln2 (ln2，+)

　　f(x) - 0 +

　　f(x) 單調遞減 ? 2(1-ln2+a) 單調遞增 ?

　　故f(x)的單調遞減區間是(-，ln2)，單調遞增區間是(ln2，+)，

　　f(x)在x=ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).

　　(2)證明：設g(x)=ex-x2+2ax-1，xR，于是g(x)=ex-2x+2a，xR.

　　由(1)知當aln2-1時，g(x)最小值為g(ln2)=2(1-ln2+a)0.

　　于是對任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R內單調遞增.

　　于是當aln2-1時，對任意x(0，+)，都有g(x)g(0).

　　而g(0)=0，從而對任意x(0，+)，g(x)0.

　　即ex-x2+2ax-10，故exx2-2ax+1.

　　18.已知函數f(x)=4x2-72-x，x[0,1].

　　(1)求f(x)的單調區間和值域;

　　(2)設a1，函數g(x)=x3-3a2x-2a，x[0,1].若對于任意x1[0,1]，總存在x0[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范圍.

　　[解析] (1)對函數f(x)求導，得

　　f(x)=-4x2+16x-7(2-x)2=-(2x-1)(2x-7)(2-x)2

　　令f(x)=0解得x=12或x=72.

　　當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：

　　x 0 (0，12)

　　(12，1)

　　f(x) - 0 +

　　f(x) -72

　　? -4 ? -3

　　所以，當x(0，12)時，f(x)是減函數;

　　當x12，1時，f(x)是增函數.

　　當x[0,1]時，f(x)的值域為[-4，-3].

　　(2)g(x)=3(x2-a2).

　　因為a1，當x(0,1)時，g(x)0.

　　因此當x(0,1)時，g(x)為減函數，從而當x[0,1]時有g(x)[g(1)，g(0)].

　　又g(1)=1-2a-3a2，g(0)=-2a，即x[0,1]時有g(x)[1-2a-3a2，-2a].

　　任給x1[0,1]，f(x1)[-4，-3]，存在x0[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立，

　　則[1-2a-3a2，-2a][-4，-3].

　　即1-2a-3a2-4，①-2a-3.②

　　解①式得a1或a解②式得a32.

　　又a1，故a的取值范圍為132.

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