高一上冊(cè)數(shù)學(xué)第三章單元測(cè)試題
高一上冊(cè)數(shù)學(xué)第三章單元測(cè)試題
一、選擇題(本大題共10小題，每題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1.已知x，y為正實(shí)數(shù)，則()
A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy B.2lg(x+y)=2lgx2lgy
C.2lgxlgy=2lgx+2lgy D.2lg(xy)=2lgx2lgy
解析 取特殊值即可.如取x=10，y=1,2lgx+lgy=2,2lg(xy)=2,2lgx+2lgy=3,2lg(x+y)=2lg11,2lgxlgy=1.
答案 D
2.若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a0，a1)的反函數(shù)且f(2)=1，則f(x)=()
A.12x B.2x-2
C.log12 x D.log2x
解析 由題意知f(x)=logax，∵f(2)=1，loga2=1，
a=2，f(x)=log2x.
答案 D
3.已知f(x)=log3x，則函數(shù)y=f(x+1)在區(qū)間[2,8]上的最大值與最小值分別為()
A.2與1 B.3與1
C.9與3 D.8與3
解析 由f(x)=log3x，知f(x+1)=log3(x+1)，
又28，39.
故1log3(x+1)2.
答案 A
4.下列說法正確的是()
A.log0.56log0.54 B.90.9270.48
C.2.50122.5 D.0.60.5log0.60.5
解析 ∵90.9=32.7,270.48=31.44，又y=3x在(-，+)上單調(diào)遞增，32.731.44.
答案 B
5.設(shè)函數(shù)f(x)=logax(a0，a1).若f(x1x2x2014)=8，則f(x21)+f(x22)++f(x22014)的值等于()
A.4 B.8
C.16 D.2loga8
解析 f(x21)+f(x22)++f(x22014)
=logax21+logax22++logax22014
=loga(x1x2x2014)2
=2loga(x1x2x2014)=28=16.
答案 C
6.(log43+log83)(log32+log98)等于()
A.56 B.2512
C.94 D.以上都不對(duì)
解析 (log43+log83)(log32+log98)
=12log23+13log23log32+32log32
=2512.
答案 B
7.若f(x)=log2x的值域?yàn)閇-1,1]，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?)
A.12，1 B.[1,2]
C.12，2 D.22，2
解析 由-1log2x1，得122.
答案 C
8.函數(shù)f(x)的圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像與曲線y=ex關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)=()
A.ex+1 B.ex-1
C.e-x+1 D.e-x-1
解析 與曲線y=ex關(guān)于y軸對(duì)稱的.曲線為y=e-x，函數(shù)y=e-x的圖像向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)f(x)的圖像，即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.
答案 D
9.若f(x)=2x+2-xlga是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=()
A.13 B.14
C.12 D.110
解析 ∵f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
f(0)=0，20+20lg a=0，
lg a=-1，a=110.
答案 D
10.某地區(qū)植被破壞，土地沙化越來越嚴(yán)重，最近三年測(cè)得沙漠增加值分別為0.2萬公頃，0.4 萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數(shù)y公頃關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是()
A.y=0.2x B.y=110(x2+2x)
C.y=2x10 D.y=0.2+log16x
解析 逐個(gè)檢驗(yàn).
答案 C
二、填空題(本大題共5小題，每題5分，共25分.將答案填在題中橫線上.)
11.函數(shù)y=ax-2+1(a0，且a1)的圖像必經(jīng)過點(diǎn)________.
答案 (2,2)
12.函數(shù)y=lg4-xx-3的定義域是________.
解析 由4-x0，x-30，得x4，x3，
定義域?yàn)閧x|x3或3
答案 {x|x3或3
13.函數(shù)f(x)=x2+12 x0，ex-1 x0，若f(1)+f(a)=2，則a=________.
答案 1或-22
14.y=log0.3(x2-2x)的單調(diào)減區(qū)間為________.
解析 寫單調(diào)區(qū)間注意函數(shù)的定義域.
答案 (2，+)
15.若函數(shù)f(x)=ax，x1，4-a2x+2，x1為R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析 由題意得a1，4-a20，a4-a2+2，得48.
答案 [4,8)
三、解答題(本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
16.(12分)計(jì)算下列各式
(1)(lg2)2+lg2lg50+lg25;
(2)2790.5+21027 13 -2
(3)(lg5)2+lg2lg5+lg20-4-426125+21+ 12 log25.
解 (1)(lg2)2+lg2lg50+lg25
=(lg2)2+lg2(lg2+2lg5)+2lg5
=2(lg2)2+2lg2lg5+2lg5
=2lg2(lg2+lg5)+2lg5=2.
(2)原式=259 12 +6427 13 -2
=53+43-2=3-2=1.
(3)原式=lg5(lg5+lg2)+lg20-25+25
=lg5+lg2+1=2.
17.(12分)已知函數(shù)f(x)=loga(1+x)，g(x)=loga(1-x)，其中a0，a1，設(shè)h(x)=f(x)-g(x).
(1)判斷h(x)的奇偶性，并說明理由;
(2)若f(3)=2，求使h(x)0成立的x的集合.
解 (1)依題意，得1+x0，1-x0，解得-1
函數(shù)h(x)的定義域?yàn)?-1,1).
∵對(duì)任意的x(-1,1)，-x(-1,1)，
h(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=g(x)-f(x)=-h(x)，
h(x)是奇函數(shù).
(2)由f(3)=2，得a=2.
此時(shí)h(x)=log2(1+x)-log2(1-x)，
由h(x)0，即log2(1+x)-log2(1-x)0，
得log2(1+x)log2(1-x).
則1+x0，解得0
故使h(x)0成立的x的集合是{x|0
18.(12分)已知0
解 由題意得16a2，6a22-22+30，得a112，a124，
得124
故a的取值范圍是124
19.(12分)已知f(x)=loglog14xx2-log14 x+5，A={x|2x2-6x+81}，當(dāng)xA時(shí)，求f(x)的最值.
解 由2x2-6x+81
由二次函數(shù)y=x2-6x+8的圖像可知24.
設(shè)log14 x=t，∵24，
-1log14 x-12，即-1-12.
f(x)=t2-t+5對(duì)稱軸為t=12，
f(x)=t2-t+5在-1，-12單調(diào)遞減，
故f(x)max=1+1+5=7，
f(x)min=-122+12+5=234.
綜上得f(x)的最小值為234，最大值為7.
20.(13分)已知函數(shù)f(x)=ax+k(a0，且a1)的圖像過(-1,1)點(diǎn)，其反函數(shù)f-1(x)的圖像過點(diǎn)(8,2).
(1)求a，k的值;
(2)若將其反函數(shù)的圖像向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)y=g(x)的圖像，寫出y=g(x)的解析式;
(3)若g(x)3m-1在[2，+)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解 (1)由題意得a-1+k=1，a2+k=8. 解得a=2，k=1.
(2)由(1)知f(x)=2x+1，得
f-1(x)=log2x-1，將f-1(x)的圖像向左平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)=log2(x+2)-1，再向上平移到1個(gè)單位，得到y(tǒng)=g(x)=log2(x+2).
(3)由g(x)3m-1在[2，+)恒成立，
只需g(x)min3m-1即可.
而g(x)min=log2(2+2)=2，
即23m-1，得m1.
21.(14分)有時(shí)可用函數(shù)f(x)=0.1+15lnaa-xx6，x-4.4x-4x6.)描述學(xué)習(xí)某科知識(shí)的掌握程度.其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)(xN+)，f(x)表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān).
(1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(100,106]，(106,112]，(112,123]，當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)4次時(shí)，掌握程度為70%，請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科;
(2)證明：當(dāng)x7時(shí)，掌握程度的增大量f(x+1)-f(x)總是下降.(參考數(shù)據(jù)e0.04=1.04)
解 (1)由題意可知0.1+15lnaa-4=0.70，整理得aa-4=e0.04，得a=104(100,106]，由此可知，該學(xué)科是甲學(xué)科.
(2)證明：當(dāng)x7時(shí)，f(x+1)-f(x)=0.4x-3x-4，
而當(dāng)x7時(shí)，函數(shù)y=(x-3)(x-4)單調(diào)遞增;
且(x-3)(x-4)0.
故f(x+1)-f(x)單調(diào)遞減，
當(dāng)x7時(shí)，掌握程度的增大量f(x+1)-f(x)總是下降.
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