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從小培養(yǎng)運(yùn)用抽象基本思想的能力論文
一、請(qǐng)先欣賞一個(gè)教學(xué)片段
最近聽了一年級(jí)《7的認(rèn)識(shí)》一課,執(zhí)教的焉老師令人欽佩,她讓六、七歲的孩子都能體驗(yàn)看似艱深的抽象思想:
(觀察、操作)“請(qǐng)大家數(shù)數(shù)這幾排圖片里各有幾件東西。”“都是7個(gè)!”-→(分析、比較相異特征)“這幾排東西有哪些地方不同呀?”“名字不同,顏色不同,用處不同……” -→(抽取共同特征)“又有哪些地方相同呢?”“多少相同,數(shù)量相同,每排都是7個(gè)。”-→(舍棄非本質(zhì)的相異特征,將共同的數(shù)量特征抽象為點(diǎn))“現(xiàn)在我們只管它們的數(shù)量,不管別的,每件東西都只用一個(gè)圓點(diǎn)表示(圖示7個(gè)圓點(diǎn)組成的集合),數(shù)數(shù)有幾個(gè)點(diǎn)就知道是7個(gè)了。”-→(再將點(diǎn)數(shù)抽象為符號(hào)性的數(shù))“還可以更簡(jiǎn)便地用數(shù)字7來表示這個(gè)數(shù)量(出示數(shù)字7)”。
課后我問焉老師為什么這樣教,她說:“讓學(xué)生先把實(shí)物抽象成圓點(diǎn),再把圓點(diǎn)的數(shù)量抽象成數(shù)字7,好讓他們體驗(yàn)抽象思想。”
這樣教真好,符合新版課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“基本思想”的要求——即使對(duì)一年級(jí)小學(xué)生,也努力讓他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)基本思想之一的“抽象思想”!
但以前我們常常只把“抽象”看成形容詞,比如抱怨說“數(shù)學(xué)太抽象了”,現(xiàn)在則要把它看成動(dòng)詞——抽象是一種思維活動(dòng),抽象思想就是展開這種思維活動(dòng)的態(tài)度與方法。
二、“抽象”并不難,處處都在用
何為“抽象”?課標(biāo)沒做解釋,百度的解釋是:“抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質(zhì)性的特征,而舍棄其非本質(zhì)的特征。”
別擔(dān)心“抽象”很難——其實(shí)從生下來開始,我們?cè)缇吞幪幵谟盟?
語言:連幼兒都會(huì)說的話或?qū)懙淖侄际浅橄蟮摹f的或?qū)懙摹疤O果”只是聲音符號(hào)或線條符號(hào),并不是能吃的真蘋果。
日常生活:連孩子都能依據(jù)抽象的“白菜標(biāo)準(zhǔn)”來判斷“那是白菜”:菜兒們體積多大、有幾片葉子、含有多少營(yíng)養(yǎng)成分、種它的農(nóng)民累不累等“非本質(zhì)特征”都舍棄了,只抽取形狀、顏色等所有白菜的“共同本質(zhì)特征”來衡量。
日常工作:你擔(dān)心自己一個(gè)人忙不過來,領(lǐng)導(dǎo)說“去找別人幫忙嘛”,那你就會(huì)根據(jù)“能人”的抽象標(biāo)準(zhǔn)找到——健康、能干、工作態(tài)度好即可,而不必考慮他是男是女、漂不漂亮、有錢沒錢等等。
自然科學(xué)學(xué)習(xí)(以物理為例):初中所學(xué)的直線勻速運(yùn)動(dòng)其實(shí)是抽象的,只把運(yùn)動(dòng)物體假設(shè)為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)且只考慮其運(yùn)動(dòng)方向和速度都不變的共同特征,而不考慮它們形狀、體積、材質(zhì)等等非本質(zhì)特征。
社會(huì)科學(xué)學(xué)習(xí)(以歷史為例):高中學(xué)習(xí)抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利的經(jīng)驗(yàn),只需考慮影響戰(zhàn)爭(zhēng)勝負(fù)的政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、外交等本質(zhì)性因素,至于中國(guó)人和日本人怎樣吃飯、怎樣戀愛結(jié)婚、怎樣唱歌跳舞之類非本質(zhì)因素基本不予考慮。
哲學(xué)思考(以教育哲學(xué)為例):哲學(xué)思考要用的概念都是極抽象的思維產(chǎn)品,我們所思考的“教育”是所有的人或機(jī)構(gòu)所進(jìn)行的培養(yǎng)人活動(dòng),而不是“哪個(gè)具體的人或哪所具體的學(xué)校所進(jìn)行的具體教育”。
那么數(shù)學(xué)里的抽象有哪些特點(diǎn)呢?
三、課標(biāo)對(duì)“數(shù)學(xué)抽象”的說明
課標(biāo)說:“數(shù)學(xué)作為對(duì)于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語言與工具”。我體會(huì)這句話的意思是:數(shù)學(xué)進(jìn)行抽象的對(duì)象是“客觀現(xiàn)象”,抽象的產(chǎn)物則是“數(shù)學(xué)的語言和工具”。
但究竟是從怎樣的“客觀現(xiàn)象”中“抽象概括”出怎樣的“科學(xué)語言和工具”呢?課標(biāo)只離散、模糊地提到5種情形:“從日常生活中抽象出數(shù)”,“從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)”,“經(jīng)歷……代數(shù)的抽象”,“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形”,“從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題”。
雖然不能用專著標(biāo)準(zhǔn)來要求課標(biāo),但它畢竟不能滿足我們深入了解“數(shù)學(xué)抽象”的需要,至少:第一,何為“日常生活”、“具體情境”、“實(shí)際背景”?第二,數(shù)學(xué)課程三大內(nèi)容中,數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何說到了,統(tǒng)計(jì)與概率呢?第三,“代數(shù)的抽象”——對(duì)什么進(jìn)行抽象?得到的是什么?第四,數(shù)學(xué)符號(hào)那么多,籠統(tǒng)一說就夠了嗎?
所以,下一段我將試著簡(jiǎn)要做些分析。
四、我理解的數(shù)學(xué)抽象
1、一般抽象的對(duì)象與產(chǎn)物有兩種:
皮亞杰說:“經(jīng)驗(yàn)具有兩種不同的形式:物理的經(jīng)驗(yàn)和邏輯-數(shù)理的經(jīng)驗(yàn),……物理的經(jīng)驗(yàn)包括對(duì)于對(duì)象采取行動(dòng)并通過對(duì)于這些對(duì)象進(jìn)行抽繹(按:即“抽象加演繹”),而發(fā)現(xiàn)對(duì)象的特性:……邏輯-數(shù)理的經(jīng)驗(yàn)……也是對(duì)于對(duì)象采取行動(dòng),但是這種發(fā)現(xiàn)這些對(duì)象特性的抽象過程并不是指向?qū)ο蟊旧矶侵赶蛴绊戇@些對(duì)象的行動(dòng):……”(《教育科學(xué)與兒童心理學(xué)》,皮亞杰著,傅統(tǒng)先譯,文化教育出版社1981年11月版第40頁)
解釋一下:“物理的經(jīng)驗(yàn)”指操作自身之外事物所獲得的經(jīng)驗(yàn),此時(shí)抽象的對(duì)象是這些外在事物,產(chǎn)物則是這些外在事物的特性,如生活體驗(yàn)得知蘋果的味道、物理學(xué)習(xí)得知某物體的質(zhì)量、化學(xué)學(xué)習(xí)得知某物質(zhì)是否易燃、生物學(xué)習(xí)得知某植物能活多久等等(可稱為“陳述性知識(shí)”)。“邏輯-數(shù)理的經(jīng)驗(yàn)”指反思自己對(duì)外在事物的操作活動(dòng)所獲得的經(jīng)驗(yàn),此時(shí)抽象的對(duì)象是自己的操作活動(dòng)即“行動(dòng)”,而產(chǎn)物則應(yīng)該是“行為方式”——肢體操作方法、工具運(yùn)用方法、思維方法、問題解決方法等(即我們常說的“方法知識(shí)”、“程序性知識(shí)”)。
2、數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象與產(chǎn)物因此有三種,且第二種更重要:
(1)物理的經(jīng)驗(yàn):數(shù)、式、數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)、幾何概念、幾何圖形、概率等等屬于物理的經(jīng)驗(yàn),它抽象的對(duì)象是外在事物,產(chǎn)物是該事物的數(shù)量特性或形狀特性。表示可變數(shù)量的字母符號(hào)、表示相等與不等的符號(hào)、數(shù)字與符號(hào)組成的代數(shù)式或函數(shù)式等也屬此類。
(2)邏輯-數(shù)理的經(jīng)驗(yàn):表示運(yùn)算(邏輯推理也是一種運(yùn)算)的符號(hào)(+、-、×、÷、√、∈、∪、∩、f(x)、sin、㏒、∑、∏、dy/dx、∫、∵、∴、=>等)、算法算律、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想等等則屬于邏輯-數(shù)理的經(jīng)驗(yàn),它抽象的對(duì)象是思考者自己的行動(dòng)(用手算、用心算、用工具算等等),產(chǎn)物是相關(guān)的行為方式(方法)。
(3)混合經(jīng)驗(yàn):如公理和定理就是上述兩種的混合。公理“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與其平行”,既概括了大量的事實(shí)真相,又是一種推理方法;定理“兩三角形如有兩組對(duì)角分別相等則它們相似”的情形也相同。
哪一種更重要——第二種:用皮亞杰的話說是“思想的影像方面(按:指物理經(jīng)驗(yàn))總是從屬于思想的運(yùn)算方面(按:指邏輯-數(shù)理經(jīng)驗(yàn))的”(同前書第37頁),用加德納多元智能理論來說第二種是重要的“數(shù)理邏輯智能”,而新課標(biāo)則高度重視數(shù)學(xué)思想方法教育。
五、對(duì)搞好抽象思想教育的建議
1、關(guān)鍵是我們自己要重視抽象思想的教育,這樣才能落實(shí)課標(biāo)要求。
2、抽象思想的運(yùn)用很多,絕不限于“數(shù)的認(rèn)識(shí)”,要善于抓住各種機(jī)會(huì)主動(dòng)開展抽象思想教育。
3、數(shù)學(xué)抽象不是一蹴而就而是有個(gè)過程的:對(duì)一組事物中的每一個(gè)分析出各自的眾多特征-→比較這些特征,確定哪些是不同的、哪些是相同的-→把相同的那些特征概括起來,予以命名,從而得出抽象概念。
4、所以,要象課標(biāo)說的那樣,既“要重視直觀”,又要“處理好直觀與抽象的關(guān)系”——從直觀出發(fā)、不滿足于直觀、積極抽象出概念。
5、如課標(biāo)所說,“組織學(xué)生開展實(shí)驗(yàn)、操作、嘗試等活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析,抽象概括”,即深刻經(jīng)歷和體驗(yàn)抽象過程。
6、要重視數(shù)學(xué)符號(hào)的教育價(jià)值,正如課標(biāo)所說:“注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)……能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理,得到的結(jié)論具有一般性。”
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