數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教育價(jià)值論文
本期《江蘇教育》刊登了4篇數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的文章。這4篇文章既是對(duì)近年來(lái)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)系列課題研究的一個(gè)概括性回顧和總結(jié)，也是對(duì)這個(gè)課題研究的反思和前瞻。腳踏實(shí)地、堅(jiān)持不懈,這個(gè)初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)團(tuán)隊(duì)闖出了一條路，開(kāi)拓了一個(gè)教學(xué)領(lǐng)域，形成了江蘇初中數(shù)學(xué)教育一道亮麗的風(fēng)景線，其意義遠(yuǎn)勝過(guò)閉門(mén)造車(chē)、書(shū)齋造文式的高談闊論。
四篇文章由讀者自品其味，這里筆者對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教育價(jià)值再作一番思考。
一、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn):學(xué)習(xí)認(rèn)知發(fā)展的有效途徑
第一，從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展分析。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦“做”數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具(如紙張、剪刀、模型、測(cè)量工具、作圖工具以及計(jì)算機(jī)等），在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下進(jìn)行的一種以人人參與的實(shí)際操作為特征的數(shù)學(xué)驗(yàn)證或探究活動(dòng)[1]。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生首先要對(duì)實(shí)驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行細(xì)致觀察，實(shí)驗(yàn)對(duì)象可能是實(shí)物，也可能是文字、符號(hào)、圖形信息，觀察就是要辨析對(duì)象變化的特征，提出變化前后可能的因果關(guān)系猜想，這一過(guò)程以空間想象為支撐。其次，通過(guò)觀察，去除無(wú)關(guān)因素和表面信息，抽象概括出對(duì)象在數(shù)量或圖形方面的本質(zhì)特征。因此,數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程包括了觀察、空間想象、概括等思維活動(dòng)。而空間想象、概括這些認(rèn)知要素最終會(huì)形成能力,從這個(gè)角度分析可以看到，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與空間想象能力、概括能力就產(chǎn)生了直接的因果關(guān)系。
皮亞杰認(rèn)為，認(rèn)知發(fā)展的過(guò)程是一個(gè)內(nèi)在結(jié)構(gòu)連續(xù)的組織和再組織過(guò)程，過(guò)程的進(jìn)行是連續(xù)和經(jīng)常的,但它造成的結(jié)果是不連續(xù)的，因此發(fā)展具有階段性。因而我們需要關(guān)心學(xué)生的概括能力、空間想象能力的關(guān)鍵發(fā)展期在什么階段。其實(shí),這個(gè)問(wèn)題北京師范大學(xué)教授林崇德先生做了深入研究。他把概括能力分為四個(gè)等級(jí):第I級(jí)為數(shù)字概括水平;第II級(jí)為初步本質(zhì)概括水平；第III級(jí)為形式運(yùn)算概括水平;第IV級(jí)為辯證抽象概括水平。初中一年級(jí)學(xué)生是第II級(jí)水平,初中二年級(jí)學(xué)生是中學(xué)階段概括能力發(fā)展中的第一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，但仍是第II級(jí)水平占優(yōu)勢(shì),經(jīng)過(guò)初中三年級(jí)過(guò)渡，高中一年級(jí)概括能力又是一個(gè)顯著的變化，第III級(jí)水平占優(yōu)勢(shì)p]。這項(xiàng)研究表明，初中階段是學(xué)生概括能力發(fā)展的一個(gè)關(guān)鍵期。
同樣,林崇德等人對(duì)空間想象能力也做了研究。將空間想象能力分為三個(gè)水平。第I級(jí)水平：由形狀簡(jiǎn)單的實(shí)物想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀，通過(guò)整體形狀來(lái)認(rèn)識(shí)二維或三維的幾何圖形,分析出簡(jiǎn)單幾何圖形的特征。第II級(jí)水平.?能夠由較復(fù)雜的圖形分解出簡(jiǎn)單的、基本的圖形，在基本圖形中找出基本元素及其關(guān)系，并能夠?qū)D形及其特征聯(lián)系起來(lái)，根據(jù)條件作出或畫(huà)出圖形。第III級(jí)水平:能夠由基本圖形組合成較復(fù)雜的圖形，能夠想象幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化，會(huì)形象地揭示問(wèn)題的本質(zhì)。研究結(jié)果表明，中學(xué)生空間想象能力發(fā)展的年齡特征表現(xiàn)在：每一級(jí)水平的空間想象能力都是隨著學(xué)生年級(jí)的升高而呈現(xiàn)上升發(fā)展的趨勢(shì)。其中，初二學(xué)生的空間想象能力在第1、11級(jí)水平上，與初一學(xué)生相同水平層次上的能力相比較，并沒(méi)有太大的進(jìn)步。初三年級(jí)學(xué)生在前兩級(jí)水平上有一個(gè)飛速發(fā)展，這表明初中二年級(jí)是空間想象能力迅速發(fā)展的關(guān)鍵期。由于初中二年級(jí)的數(shù)學(xué)課程中大大豐富了?面幾何的內(nèi)容，因此經(jīng)過(guò)初二一年的學(xué)習(xí)，初中三年級(jí)學(xué)生的空間想象能力獲得了一個(gè)質(zhì)的飛躍發(fā)展。
上述研究為初中階段開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了學(xué)習(xí)心理學(xué)方面的依據(jù)。在初中學(xué)生概括能力和空間想象能力發(fā)展的關(guān)鍵期，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的介人會(huì)促進(jìn)這兩種能力的發(fā)展，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。
第二，從“具身認(rèn)知”理論分析。“具身認(rèn)知”是一種將認(rèn)知和身體聯(lián)系起來(lái)的理論，其核心觀點(diǎn)是:認(rèn)知、思維、記憶、學(xué)習(xí)、情感和態(tài)度等是身體作用于環(huán)境的活動(dòng)而塑造出來(lái)的。從根本上講，心智是一種身體經(jīng)驗(yàn)，身體的物理體驗(yàn)制約了心智活動(dòng)的性質(zhì)和特征[3]。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，心智是對(duì)符號(hào)性表征的加工和操縱,認(rèn)知在本質(zhì)上是發(fā)生于大腦中樞的'符號(hào)運(yùn)算，身體的作用只是提供刺激和執(zhí)行指令。與認(rèn)知心理學(xué)不同具身認(rèn)知”理論還認(rèn)為，身體的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)決定了認(rèn)知的種類(lèi)和特性。認(rèn)知是身體的認(rèn)知，而身體的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)又是進(jìn)化的產(chǎn)物，是環(huán)境塑造出來(lái)的。這意味著認(rèn)知、身體和環(huán)境是一個(gè)緊密的聯(lián)合體。思維與身體密不可分，如影隨形地相伴而行,沒(méi)有離身的思維，思維活動(dòng)過(guò)程中各種信息都是來(lái)源于身體的各項(xiàng)相應(yīng)的感官通道的擷取與初步組織，而思維的動(dòng)力與能量的取得，也離不開(kāi)作為物質(zhì)的身體健康狀況的承載，就是說(shuō)，發(fā)生認(rèn)識(shí)離不開(kāi)身體的支撐。事實(shí)上，杜威的“從做中學(xué)”就是踐行“具身認(rèn)知”理論的典范，因?yàn)檫@一學(xué)習(xí)方式建立了學(xué)習(xí)者的認(rèn)知與身體動(dòng)作之間的聯(lián)系，以身體的動(dòng)作來(lái)促進(jìn)思維的發(fā)展。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)習(xí)者通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)工具的操作，抽象概括出事物的數(shù)量特征和圖形特征的學(xué)習(xí)方式，它改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)“先學(xué)后做”為“先做后學(xué)”或者“在做中學(xué)”的模式，樹(shù)立了一種新的教學(xué)范式，這種教學(xué)的“反叛”在具身認(rèn)知理論中找到了支持。
二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn):教學(xué)過(guò)程完善性的必要補(bǔ)充
長(zhǎng)期以來(lái)，由于定位于基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考試評(píng)價(jià)導(dǎo)向作用，使一條完整的教學(xué)鏈遭到了破壞。
我們把當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)稱為知識(shí)教學(xué)，其特征為：重理論輕實(shí)踐、重結(jié)果輕過(guò)程、重知識(shí)輕能力、重證實(shí)輕證偽、重訓(xùn)練輕理解。表現(xiàn)為：要求學(xué)生掌握書(shū)本知識(shí)而不顧及這些知識(shí)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，要求學(xué)生只是掌握知識(shí)的結(jié)果而不追問(wèn)這些知識(shí)的結(jié)果從何而來(lái)又向何而去，要求學(xué)生記住知識(shí)的外殼而不挖掘知識(shí)內(nèi)在的思想方法，要求學(xué)生以虔誠(chéng)的心態(tài)證實(shí)和接受真理而不去辨析謬誤和體驗(yàn)產(chǎn)生真理的艱辛，要求學(xué)生能夠解決大量數(shù)學(xué)練習(xí)而不理解數(shù)學(xué)的本源性問(wèn)題……本質(zhì)上，知識(shí)的教學(xué)不是一種文化教學(xué)。
在《教育部關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》中，明確界定了“核心素養(yǎng)”，即學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。突出強(qiáng)調(diào)個(gè)人修養(yǎng)、社會(huì)關(guān)愛(ài)、家國(guó)情懷，更加注重自主發(fā)展、合作參與、創(chuàng)新實(shí)踐。這種新的導(dǎo)向無(wú)疑是對(duì)以知識(shí)和技能為教學(xué)目標(biāo)的一種批判，必將會(huì)使人們產(chǎn)生對(duì)教學(xué)本質(zhì)的重新理解，還原教學(xué)的完整過(guò)程。
教學(xué)的完整鏈應(yīng)當(dāng)包括三個(gè)階段：怎么來(lái)的？是什么？怎么去的？第一階段，“怎么來(lái)的”指教師要引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)？產(chǎn)生這個(gè)知識(shí)的緣由是什么？這個(gè)知識(shí)是如何生成的？它與其他知識(shí)有什么關(guān)系？要解決這幾個(gè)問(wèn)題，教師就必須揭示知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程和在產(chǎn)生知識(shí)的過(guò)程中出現(xiàn)的曲折。顯然，知識(shí)的過(guò)程因素、知識(shí)的證偽因素、知識(shí)的實(shí)踐因素都會(huì)在教學(xué)的這一階段介人，同時(shí)還會(huì)有數(shù)學(xué)文化元素的滲透，這個(gè)教學(xué)階段為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起著奠基性作用。第二階段，“是什么”指對(duì)教師幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)結(jié)果的理解，包括利用知識(shí)解決數(shù)學(xué)本身的問(wèn)題和解決一些現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題。知識(shí)的理論因素、知識(shí)的結(jié)果因素、知識(shí)的證實(shí)因素會(huì)在這一階段介人，這個(gè)教學(xué)階段為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起著夯實(shí)性作用。第三階段，“怎么去的”指教師要啟發(fā)學(xué)生思考知識(shí)會(huì)向什么方向發(fā)展，在這個(gè)知識(shí)基礎(chǔ)上會(huì)生成什么新的知識(shí)。這一階段需要反思性思維、批判性思維、創(chuàng)新性思維的參與，需要猜想、證偽、證實(shí)等方法的并用，這個(gè)教學(xué)階段在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)過(guò)程中起著關(guān)鍵性作用。
這個(gè)教學(xué)鏈中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)擔(dān)當(dāng)了重要的角色，它的亮相主要是在第一階段和第三階段。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)摒棄了只重視教學(xué)第二階段的傳統(tǒng)做法，是對(duì)教學(xué)過(guò)程完善性的必要補(bǔ)充。
三、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn):課程資源開(kāi)發(fā)的豐富源泉
數(shù)學(xué)課程資源可以分為外顯素材性資源、外顯條件性資源、內(nèi)隱素材性資源、內(nèi)隱條件性資源。外顯素材性資源主要指以文字、語(yǔ)言、符號(hào)、圖形、圖表等在教材或媒體上顯示的知識(shí)，反映的是外顯的、靜態(tài)的結(jié)果型知識(shí)。外顯條件性資源指課程實(shí)施的人力、物力和財(cái)力資源，主要涉及設(shè)施、媒介和環(huán)境。例如圖書(shū)館、博物館、大眾傳播系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)、校內(nèi)外教師資源等均屬于外顯條件性資源。內(nèi)隱素材性資源是指不以文本形式顯性表述的，潛藏于顯性知識(shí)深層的隱性知識(shí)。具體地說(shuō)，包括數(shù)學(xué)知識(shí)的文化元素、數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程元素、數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯元素、數(shù)學(xué)知識(shí)的背景元素等。內(nèi)隱條件性資源主要指教師根據(jù)對(duì)素材性課程資源的理解，結(jié)合外顯條件性資源去構(gòu)建的適合學(xué)生學(xué)習(xí)的課堂環(huán)境。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)材料本身是屬于內(nèi)隱性課程資源，開(kāi)發(fā)這些資源需要教師對(duì)知識(shí)的產(chǎn)生、知識(shí)之間的聯(lián)系、知識(shí)中包含的數(shù)學(xué)思想方法等有深入的理解，對(duì)其進(jìn)行教學(xué)法層面的再加工，形成實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。由于這些要素都沒(méi)有在教材中明確寫(xiě)出，需要教師自己開(kāi)發(fā)，因此屬于一種內(nèi)隱性資源。另一方面，一旦把這些資源開(kāi)發(fā)出來(lái)，它們就變成了外顯素材性資源，例如，“初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論與實(shí)踐研究”課題組開(kāi)發(fā)的《義務(wù)教育教科書(shū)?數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》(共5冊(cè)）就是外顯素材性資源。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)材料的開(kāi)發(fā)是對(duì)內(nèi)隱素材性資源的挖掘，開(kāi)發(fā)后形成的結(jié)果又是外顯素材性資源’即從課程體系來(lái)看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)兼有外顯和內(nèi)隱雙重課程資源的性質(zhì)。
初中數(shù)學(xué)中許多內(nèi)容都與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有內(nèi)在的聯(lián)系，大體上可以分為以下幾種情形：
(1)由具體到一般的問(wèn)題。從具體到一般去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程往往可以介人實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)就是對(duì)個(gè)別現(xiàn)象的處理，然后推廣到一般情形。例如，“數(shù)字黑洞”是一種數(shù)字游戲，通常從一個(gè)整數(shù)或一組整數(shù)出發(fā)，按某種規(guī)定的計(jì)算法則，反復(fù)進(jìn)行同一種操作程序，最終都會(huì)回到一個(gè)數(shù)值上，這個(gè)數(shù)值就像宇宙中的黑洞一樣將任何數(shù)字牢牢吸住。這是從特殊到一般發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過(guò)程。
(2)代數(shù)問(wèn)題的幾何解釋。代數(shù)問(wèn)題幾何化，使抽象變?yōu)橹庇^,可視化往往帶來(lái)實(shí)驗(yàn)的契機(jī)。這方面的例子非常多。例如,將兩個(gè)邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，分別沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到的4個(gè)等腰直角三角形拼成1個(gè)大正方形，這個(gè)大正方形的面積為2，邊長(zhǎng)a是一個(gè)無(wú)理數(shù)。請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上表示出無(wú)理數(shù)a。
(3)幾何圖形變換問(wèn)題。通過(guò)平移、對(duì)折、旋轉(zhuǎn)、壓縮等幾何變換,能夠發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題。其中，如何變換本身就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。(4)通過(guò)計(jì)算數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的問(wèn)題。例如，通過(guò)計(jì)算、擲骰子、操作Excel等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從具體的幾個(gè)有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)出發(fā)認(rèn)識(shí)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，感受到無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是客觀存在的。總之，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為數(shù)學(xué)課程資源的開(kāi)發(fā)提供了豐富的源泉。
開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)材料，需要教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有深刻的理解，能透視作為結(jié)果性知識(shí)背后的實(shí)驗(yàn)成分，需要教師有洞察力和創(chuàng)造力。因此，開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)材料這種內(nèi)隱性課程資源，同時(shí)能對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)，是提升教師自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)、促進(jìn)專(zhuān)業(yè)發(fā)展的一條有效途徑。另一方面，把開(kāi)發(fā)出來(lái)的外顯性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)文本應(yīng)用于教學(xué)實(shí)踐，對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)又有直接的推動(dòng)作用。這就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)表現(xiàn)出來(lái)的特殊課程資源的功能。
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