競賽題平方數解法與推廣的分析論文

　　競賽題平方數解法與推廣的分析論文

　　一、選題依據（背景與意義、國內外研究現狀與發展趨勢）

　　在某種程度上，數學的整個對象就是在原來似乎混沌占統治地位的地方創造秩序，從無序和混沌之中抽取出結構和不變量。所以，把無序的數字轉化為有序的模型，這才是數學家乃至所有數學愛好者所追求的。

　　平方數，也叫完全平方數或正方形數，是可以寫成整數的二次方的數。它是一種很“完美”的數，有關于它有許多很有序的規律，至今為止，已經有很多的數學愛好者樂此不疲地去研究它，而且也得出了不少有趣而且有用的結論。至今為止，平方數的一些基本的性質。例如，性質1：完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9。性質2：奇數的平方的個位數字為奇數，十位數字為偶數。等等。

　　還有很多著名的數學家長久以來樂此不疲地研究平方數，也把它的有關知識作為一種工具用于證明、計算其他定理、命題。例如，意大利著名的數學家Lagrange，他在整數論上也有有關平方數的Lagrange定理：任何一個正整數都可寫成四個平方數之和。并且在證明中他運用了歐拉恒等式：若則

　　此類例子還有很多，在此不一一列舉了。

　　本論文是對一道有關平方數的競賽題的解法與推廣，我的目標是從無序的題目中找出有序的、有規律的結果，從而體會數學的規律美。過程主要是猜想——計算機輔助驗證——數學方法證明。

　　猜想在一般的觀念里，似乎是具有一定的偶然性，但實際上，猜想要靠長期積累下來的對數學的直覺和經驗形成一種敏銳的洞察力和技巧。這是一個長期的過程。

　　數學題不一定單純地做出答案就行了，很多情況下還可以更深入地研究，挖掘出它的背景，進行再推廣、再發散。很多看似簡單的數學題其背后的內容卻是十分豐富的，需要有心人去探討研究，這樣才能真正深刻的理解。有些計算量相當大的數學題應用筆算和一般的計算器已經不能滿足需求，這時我們要借助計算機，利用程序設計來解。現在我就要解一道有關于平方數的競賽題，由于計算量相當的大，筆算和一般的計算器已經不能滿足需求，所以我通過在VisualBasic6.0環境下對算法進行分析和驗證，驗證結論的正確性。

　　那些最初表現為令人懷疑的東西，只有經過某種思維過程后，再通過起批準和保證作用的證明，才能最終表現為無可置疑的真理。證明通過揭示事物的核心而增強理解，是數學的力量。

　　二、研究目標與主要內容（含論文提綱）

　　研究目標：本論文主要研究型如平方數的結構，我們知道，，，，等關于的結果是無序的，而對于，先關于n代入幾個數，例如，，，，……，由此猜想：，并且這個結果可以用數學歸納法證明，所以是有序的。再進一步可得，關于的輸出結果也是有序的。在競賽數學中經常出現有關平方數的一些問題，因此系統研究型如平方數，當取什么值時，其結果是有序的，既有理論價值又有應用價值。

　　論文提綱：首先，尋找可能的取值。當n取比較小的值時，可以采用筆算的方法來計算結果、找尋規律，但當n取比較大的值時，發現計算量相當大，用筆算和一般的計算器已經遠遠不能滿足需求，這時就會想到借助計算機輔助計算，利用程序設計來解。我采用的是VisualBasic（簡稱VB）這種常見的程序設計語言。一種語言就是一種思想。經過計算發現當取任意正整數，而時，都可以產生有序的結果。

　　找規律：當時，；

　　當時，；

　　當時，；

　　當時，；

　　當時，；

　　當時，；

　　當時，；

　　當時，；

　　當時，……

　　由此可猜想得出：的一個有序的結果。同樣道理，、也可得出有序的結果，也可發現、、、、的結果沒有一定的規律可尋。猜想在一般的觀念里，似乎是具有一定的偶然性，但實際上，猜想要靠長期積累下來的對數學的直覺和經驗形成一種敏銳的洞察力和技巧。這是一個長期的過程。

　　然后，利用計算機輔助計算驗證預期結果對某些初值的正確性。

　　最后，利用數學方法給出嚴謹的論證，而我所采用的論證方法是簡單易懂的數學歸納法。

　　三、擬采取的研究方法、研究手段及技術路線、實驗方案等

　　利用文獻研究法與理論研究法，通過圖書館、書店、網絡等途徑對平方數相關各方面的資料進行查閱、研究、歸納、總結。理論與實踐研究法相結合。先是通過對一些簡單的n值進行觀察，再用筆算和計算器進行初步計算，根據已得的結果，推廣到極大的n值，進行理論上的猜想，然后運用計算機輔助（VisualBasic）這種常見的程序設計語言計算驗證，最后證明猜想的結果。

　　四、研究的整體方案與工作進度安排（內容、步驟、時間）

　　進度安排：

　　序號時間內容

　　112.1-2.14明確選題并完成文獻綜述和外文資料翻譯

　　22.14-2.28完成開題報告并舉行開題報告會

　　33.1-3.20完成計算、實驗和繪圖，并完成論文的引言部分

　　43.20-3.30完成論文的初稿

　　53.30-4.20指導教師閱讀審看并修改，完成終稿

　　64.20-4.30論文答辯，學生材料上交教務科

　　75.1-5.15教務科材料匯總整理上

　　五、研究的預期目標及主要特點

　　預期目標：在某種程度上，數學的整個對象就是在原來似乎混沌占統治地位的地方創造秩序，從無序和混沌之中抽取出結構和不變量。所以，把無序的數字轉化為有序的模型，這才是數學家乃至所有數學愛好者所追求的。本論文就是研究一種平方數，從一種無序的結果轉化為有序的、有規律的結果。

　　主要特點：進行大膽的猜想，運用計算機輔助計算幫助驗證結果，得出的結論很有規律性。

　　六、指導教師意見：

　　指導教師簽名：

　　年月日

　　七、教研室或系審核意見：

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