數學《橢圓及其標準方程》教學設計

時間：2022-11-24 17:00:09 教學設計我要投稿

數學《橢圓及其標準方程》教學設計（精選8篇）

　　作為一名教職工，通常會被要求編寫教學設計，借助教學設計可以促進我們快速成長，使教學工作更加科學化。你知道什么樣的教學設計才能切實有效地幫助到我們嗎？下面是小編精心整理的數學《橢圓及其標準方程》教學設計，希望能夠幫助到大家。

數學《橢圓及其標準方程》教學設計（精選8篇）

　　數學《橢圓及其標準方程》教學設計篇1

　　一、教學內容解析

　　1．地位與作用：

　　本章是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》，是高中數學解析幾何的第二大部分。解析幾何是數學中一個重要的分支，它聯系了數學中的數與形、代數與幾何等最基本對象之間的聯系。在北師大版必修2中，學生已掌握了在平面直角坐標系下研究直線和圓的方法，本章教材進一步利用三種基本圓錐曲線深化代數與幾何的關系。本章教材內容的順序是：橢圓→拋物線→雙曲線→曲線與方程。這樣安排的用意是，先學圓錐曲線，再學曲線與方程，這樣的順序更有利于學生的學習，符合學生從特殊到一般，具體到抽象的認知規律。在圓錐曲線的學習過程中，不斷的滲透曲線與方程的思想，為學生理解并掌握“曲線與方程”這一概念奠定了基礎。

　　本節是北師大版選修1—1的第二章《圓錐曲線與方程》第1節的內容，主要學習橢圓的定義、標準方程及其簡單的應用，分為兩課時，本節課是第1課時，主要學習橢圓的定義及其標準方程。教材以橢圓為基礎和重點說明了求方程并利用方程討論幾何性質的一般方法，然后在認知拋物線和雙曲線中得到了鞏固和應用，因此《橢圓及其標準方程》這一節課起到了承上啟下的作用。

　　2．教材處理順序

　　教材在橢圓的定義這個內容的安排上是：先從直觀上認識橢圓，再從畫法中提煉出橢圓的幾何特征，由此抽象概括出橢圓的定義，最后是橢圓定義的簡單應用。這樣的安排不僅體現出《課程標準》中要求通過豐富的實例展開教學的理念，而且符合學生從具體到抽象的認知規律，有利于學生對概念的學習和理解。教材在本節內容中只研究了中心在原點，焦點在軸上的橢圓的標準方程，讓學生自己去歸納焦點在軸上的橢圓的標準方程。這樣的處理給學生提供了一次探究和交流的機會。有利于學生對拋物線標準方程的理解，有利于學生思維能力的提高和學習興趣的培養。

　　3．數學思想方法

　　本節內容蘊含了：數形結合思想、轉化化歸思想等。在推導橢圓標準方程過程中讓學生體會移項再平方去根號的方法。

　　二、教學目標和重難點

　　1．教學目標

　�。�1）知識與技能目標：①理解橢圓的定義；②掌握的橢圓的標準方程。

　�。�2）過程與方法目標：①在橢圓定義的獲知和歸納中，進一步滲透數形結合的數學思想方法；②通過橢圓標準方程的推導過程，鞏固用坐標化的方法求動點的軌跡方程，同時體會含有兩個根式的化簡思路。

　　（3）情感、態度和價值觀：①通過橢圓定義的歸納，培養學生發現規律，認識規律并利用規律解決實際問題的能力；②通過師生、生生合作學習，增強學生團隊協作能力，增強主動與他人合作交流的意識。

　　2．教學重點

　�。�1）掌握橢圓的定義與相關概念；

　�。�2）掌握橢圓的標準方程。

　　3．教學難點

　　橢圓標準方程的推導。

　　三、學情分析

　　1．學生已有的認知基礎

　　授課班級學生為高二年級學生。

　　橢圓是圓錐曲線中基礎且重要的一種圖形，在實際生活中經常遇到。學生在高一對解析幾何有了初步的了解和認識，對于在平面直角坐標系下的點坐標及長度公式已掌握，具有一定的空間想象能力、抽象概括能力和推理運算的技能，有較好的學習習慣和方法。

　　2．學生存在的難點

　　學生在涉及到需要自己建立坐標系，再研究推導出方程仍是一個難點。且之前未接觸過一個式子中含兩個根式相加的情況，故化簡是個問題。

　　3．突破策略

　　由教師引領學生觀察所繪出的橢圓的特點，定點位置，從而建立合適的直角坐標系。

　　四、教學策略分析

　　1．內容突破策略

　　本節課新知內容分兩大板塊：一是總結概括出橢圓的定義；二是推導出橢圓的標準方程。針對第一板塊內容，主要采取學生先動手畫橢圓，在實踐的過程中發現一些固定不變的量和量與量之間存在的關系，從而總結出橢圓的定義，并且深刻領悟定義中所說的一些特別要求。針對第二板塊內容，主要是采取教師引導，學生動手，通過一般的求動點軌跡的方法推導出橢圓的標準方程，符合學生的認知規律。

　　2．啟迪學生思維策略：

　　在教學方法的選擇上，采用教師組織引導，學生動手實踐、自主探究、合作交流的學習方式，力求體現教師的引導者、合作者的作用，突出學生的主體地位。

　　五、教學過程

　　教學過程

　　設計意圖

　　一、創設情景，導入新課

　　1．讓學生觀察幾張典型圖片和行星在太陽系中的運動軌跡，由此看出一個共同的數學圖形“橢圓”。

　　2．大家還能舉出生活中你所遇到的橢圓嗎？

　　3．用多媒體演示一個嫦娥三號運行橢圓形軌道的例子。

　　1．使學生對橢圓有一個感性認識，明白生活實踐中有許多數學問題，數學來源于實踐，同時培養學生學會用數學的眼光去觀察周圍事物的能力。

　　2．通過提問激發學生課堂上的學習興趣。

　　二、橢圓的定義（分四個環節）

　　1．畫一畫（畫橢圓）

　�、賹⒁粭l繩子的兩端固定在同一個定點上，用筆尖勾起繩子的中點使繩子繃緊，圍繞定點旋轉，筆尖形成的軌跡是什么？

　�。ㄓ蓪W生動手在黑板上進行演示，提高學生的動手能力，同時激起學生學習本節課的興趣）

　　②而將繩子的兩端分別固定在兩個定點上，筆尖勾直繩子，移動筆尖，得到的是軌跡是什么？

　　（教師提問，讓學生動手，拿出提前準備好的毛線，兩組同學上黑板畫，其他同學同桌合作在練習本上畫）

　　動畫演示作圖過程

　　2．認一認（實驗總結）

　　提出問題：①作圖過程中，哪些量沒有變？哪些量變了？

　　提出問題：②為什么要求作圖過程中筆尖要繃緊？

　　提出問題：③筆尖所對應的動點M到定點的距離有什么長度之間的關系？

　　總結：筆尖對應的動點M到直線兩個端點的長度之和固定不變。

　　3．說一說（總結定義）

　　提出問題：根據剛才動手實踐的過程，能否總結橢圓的定義？（同學自由發言，再由學生進一步補充完善）

　　我們把平面內到兩個定點，的距離之和等于常數（大于）的點的集合叫作橢圓。

　　問題1：定義中的常數等于，則動點的軌跡是什么？

　　問題2：定義中的常數小于，則動點的軌跡是什么？

　　4．橢圓相關概念：兩個定點，叫作橢圓的焦點，兩個焦點，間的距離叫作橢圓的焦距。

　　1．給學生提供一個動手、動腦的學習機會；

　　2．學生可通過動手實踐的過程去體會“滿足什么樣的條件下的點的集合為橢圓”，從而對橢圓定義中的條件有直觀深刻的認識。

　　3．通過三個問題的設置，為學生從畫法中發現拋物線的幾何特征奠定基礎。

　　4．通過三個典型的問題，讓學生更深刻地理解橢圓的定義

　　5．使學生經歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質的認識，并逐漸養成嚴謹的科學作風。

　　三、橢圓的標準方程

　　1．求一求（推導橢圓的標準方程）

　　問題3：回顧圓的軌跡方程是如何求的？

　�、俳ㄏ担� ②設點：

　�、哿惺剑� 得： ④化簡：

　　問題4：以怎樣的建系方式，哪一種針對求橢圓的標準方程比較好？

　　（補充說明：橢圓具有一定的對稱美，故所求的式子最好簡潔工整）

　　動手演算：讓學生動手，求推導焦點在軸上的橢圓的標準方程

　　①建系：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡潔？（利用橢圓的對稱性特征）

　　以直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建

　　立平面直角坐標系．

　�、谠O點：設焦距為，則．設為橢圓上任意一點，點與點的距離之和為．

　�、哿惺剑簞狱c 滿足的幾何約束條件：

　　坐標化為：

　�、芑啠夯啓E圓方程是本節課的難點，突破難點的方法是引導學生思考如何去根號

　　預案一：移項后兩次平方法

　　兩邊同時平方、整理得：

　　將上式兩邊平方、整理得：

　　分析的幾何含義，令

　　得到焦點在軸上的橢圓的標準方程為

　　預案二：

　　用等差數列法：

　　設

　　得4cx=4at，即t=

　　將t= 代入式得

　　③

　　將③式兩邊平方得出結論。以下同預案一

　　預案三：三角換元法：

　　設

　　得

　　即即

　　代入式得

　　以下同預案一

　　2．問一問

　　問題5 ：焦點在軸上的橢圓的標準方程是什么？

　�。ㄓ蓪W生動手列式，，引導學生觀察焦點在軸上與焦點在軸上式子的差異，從而用類比的方法得到焦點在軸上橢圓的標準方程）

　　如果橢圓的焦點在軸上，其焦點坐標為，，用同樣的方法可以推出它的標準方程

　　問題6：如何用幾何圖形解釋？，，在橢圓中分別表示哪些線段的長？

　　1．讓學生由圓的標準方程的推導過程，類比的推導橢圓的標準方程。

　　2．橢圓方程不止一種，建立的坐標系不同，橢圓方程的表達形式也不同，在高中階段只掌握焦點在坐標軸上的橢圓的標準方程。

　　3．進一步熟悉用坐標法求動點軌跡方程的方法，掌握化簡含根號等式的方法，提高運算能力，養成不怕困難的鉆研精神，感受數學的簡潔美、對稱美

　　4．數形結合的思想的靈活應用，進一步深化鞏固數學思想方法

　　做好準備，以備個別學生想到此種方法

　　四、課堂探究

　　探究一：判斷分別滿足下列條件的動點的軌跡是否為橢圓

　�。�1）到點和點的距離之和為6的點的軌跡；（是）

　�。�2）到點和點的距離之和為4的點的軌跡；（不是）

　　（3）到點和點的距離之和為3的點的軌跡；（不是）

　　(4).已知橢圓的標準方程為，請填空：a=_____,b=_____,c=_____,焦點坐標為_________________,焦距等于_________.

　　探究二：判定下列橢圓的標準方程在哪個軸上，并寫出焦點的坐標

　�。�1）；（在軸上，焦點為，）

　�。�2）；（在軸上，焦點為，）

　�。�3）。（在軸上，焦點為，）

　　1．鞏固橢圓的定義

　　2．通過本題的練習，使學生能加深橢圓的焦距與標準方程之間關系的理解，同時會求標準方程的基本量，教學時應引導學生逐層深入，養成求橢圓標準方程先看焦點位置的良好習慣。

　　五、課堂小結

　　問題：這節課你學到了什么？請談談你的收獲.

　　1．知識內容收獲：一個定義（橢圓的定義）；兩個方程（橢圓的兩種標準方程）；及橢圓中之間的關系。

　　2．學習過程收獲：①鞏固了動點的軌跡方程的求法；②通過推導橢圓的標準方程的過程，學會了兩個根式相加的式子的化簡方法，同時提高了自己的運算能力。

　　3．數學思想和方法：數形結合思想；轉化化歸思想；分類討論思想。

　　目的：培養學生的概括總結能力

　　六、課后鞏固練習

　　1．課后思考：當把橢圓的兩個焦點合二為一了后，得到的圖形是什么？你能總結出什么樣的規律？

　　2．書面作業：

　　課本練習2： 1, 2, 3

　　是對本節課新知內容及學習方法的鞏固，同時啟發學生思考，讓學生更有興趣繼續研究橢圓

　　七、板書設計

　　橢圓及其標準方程

　　一、畫橢圓

　　二、定義：

　　注明：①若，則點的軌跡不存在；

　�、谌� ，則軌跡為線段

　　三、橢圓的標準方程

　　焦點在軸上時，

　　八、設計感想

　　上本節課前本人閱讀了大量圓錐曲線的知識，對各種不同的橢圓定義引題進行了分析比較，通過各位同事耐心的指導和多次的討論，最終采用了以現實生活中橢圓的應用引入，充分展現了知識的形成過程，有利于學生自主探究與創新意識的培養。但在設計過程仍遇到很多我無法解決的問題，比如如何將圓錐曲線背景知識融入到課堂；如何用幾何畫板將紙張的翻折更形象的演示等等。如何加以改進，這是在后續教學中需要思考的問題。這也反映了我在新課程面前的不足，認識到教師自身專業發展與能力提高的重要性與緊迫感；認識到新課程下的教師不再是靜態的蠟燭、明燈抑或是航標，而是一名充滿激情的主持人，一名銳意進取的先行者這樣一個角色的轉換；認識到新課改的成功要從我做起，從現在做起！

　　數學《橢圓及其標準方程》教學設計篇2

　　一、教學內容分析（簡要說明課題來、學習內容、這節課的價值以及學習內容的重要性）

　　本節課是高中新課程人教A版數學選修1—1第二章第一單元《橢圓及其標準方程》的第一課時.

　　本節的內容是繼學習圓之后運用 “曲線和方程”理論解決具體二次曲線的又一實例.從知識上說，它是對前面所學的運用坐標法研究曲線的又一次實際演練，同時它也是進一步研究橢圓幾何性質的基礎；從方法上說，推導橢圓的標準方程的方法對雙曲線、拋物線方程的推導具有直接的類比作用，因此，這節課有承前啟后的作用，是本節乃至本章的重點。

　　二、教學目標（從知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三個維度對該課題預計要達到的教學目標做出一個整體描述）

　　基于新課標的要求，結合本節內容的地位，我提出教學目標如下：

　　（1）知識與技能：

　　①了解橢圓的實際背景，經歷從具體情景中抽象出橢圓模型的過程； ②使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程及其推導過程.

　�。�2）過程與方法：

　�、僮寣W生親身經歷橢圓定義和標準方程的獲取過程，掌握求曲線方程的方法和數形結合的思想； ②學會用運動變化的觀點研究問題，提高運用坐標法解決幾何問題的能力.

　�。�3）情感態度與價值觀：

　�、偻ㄟ^主動探究、合作學習，感受探索的樂趣與成功的喜悅；培養學生認真參與、積極交流的主體意識和樂于探索創新的科學精神.

　�、谕ㄟ^主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗，體會數學的理性和嚴謹，

　�、弁ㄟ^橢圓知識的學習，進一步體會到數學知識的和諧美，幾何圖形的對稱美；提高學生的審美情趣.

　　三、學習者特征分析（說明學習者在知識與技能、過程與方法、情感態度等三個方面的學習準備（學習起點），以及學生的學習風格。最好說明教師是以何種方式進行學習者特征分析，比如說是通過平時的觀察、了解；或是通過預測題目的編制使用等）

　　1.能力分析

　�、賹W生已初步掌握用坐標法研究直線和圓的方程，②對含有兩個根式方程的化簡能力薄弱。

　　2.認知分析

　�、賹W生已初步熟悉求曲線方程的基本步驟，②對曲線的方程的概念有一定的了解。

　　3.情感分析

　　學生具有積極的學習態度，強烈的探究欲望，能主動參與研究。

　　改變學生的學習方式是高中課改追求的基本理念。遵循以學生為主體，教師為主導，發展為主旨的現代教育原則。我采用了通過創設情境，充分調動學生已有的學習經驗，以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學生知識的“最近發展區”設置問題；以學生主動探索、積極參與、共同交流與協作為主體，在教師的引導下，學生“跳一跳”就能摘得果實；于問題的分析和解決中實現知識的建構和發展。通過不斷探究、發現，讓學生的學習過程成為心靈愉悅的主動過程，使師生的生命力在課堂上得到充分的發揮。激發學生的學習興趣和創新能力，幫助學生養成獨立思考積極探索的習慣。

　　四、教學策略選擇與設計（說明本課題設計的基本理念、主要采用的教學與活動策略）

　　橢圓的標準方程共兩課時，第一課時所研究的是橢圓標準方程的建立及其簡單運用，涉及的數學方法有觀察、比較、歸納、猜想、推理驗證等，我校學生基礎差、底子薄，數學運算能力，分析問題、解決問題的能力，邏輯推理能力，思維能力都比較弱，所以在設計課的時候往往要多作鋪墊，掃清他們學習上的障礙，保護他們學習的積極性，增強學習的主動。在教法上，主要采用探究性教學法和啟發式教學法。以啟發、引導為主，采用設疑的形式，逐步讓學生進行探究性的學習

　　五、教學重點及難點（說明本課題的重難點）

　　基于以上分析，我將本課的教學重點、難點確定為： ①重點：橢圓定義和標準方程 ②難點：橢圓的標準方程的推導。

　　六、教學過程（這一部分是該教學設計方案的關鍵所在，在這一部分，要說明教學的環節及所需的資源支持、具體的活動及其設計意圖以及那些需要特別說明的教師引導語）

　　一. 創設問題情境：

　　情境1：給出橢圓的一些實物圖片：天體運行圖（月亮繞地球，地球繞太陽旋轉）、汽車油罐的橫截面，立體幾何中圓的直觀圖?

　　實物：圓柱形杯傾斜后杯中水的形狀。

　　情境2：校園內一些橢圓形小花壇

　　問題學校準備在一塊長3米、寬1米的矩形空地上建造一個橢圓形花園，要盡可能多地利用這塊空地，請問：如何畫這個花園的邊界線？

　　（學生現在還不能解決，只有通過今天這節課的學習才能解決這個問題）

　　這是實際生活中圖形，數學中我們也遇到這一類圖形：歸結為到兩定點距離之和為定值的點的軌跡問題。如何用現有的工具畫出圖形？（啟發學生用畫圓的方法試著畫圖）

　　教師與學生一起找出上述問題的解決方案，并一同用給的工具畫出圖形，與上述圖形相似——橢圓

　　問題情境的創設應有利于激發學生的求知欲。為了學習橢圓的定義，我設計如下兩個學生熟悉的情境：

　　通過情境1，讓學生感受到橢圓的存在非常普遍。小到日常生活用品，大到建筑物的外形，天體的運行軌道。

　　通過情境2，讓學生主動思考如何畫橢圓及橢圓的定義。

　　通過問題，要求學生以小組為單位進行實驗、觀察、猜想，激發學生探索的欲望和濃厚的學習興趣，使學生的主體地位得到體現。

　　二. 探求橢圓方程

　　如何選取坐標系？

　　方案1：以一個定點為原點，兩定點的連線為X軸

　　回顧圓的方程的建立過程，首先是做什么？（提問學生）如何選擇適當的坐標系來建立橢圓的方程呢？

　　學會建立適當的坐標系，構造數與形的橋梁，學會用解析的方法來解決問題，滲透數形結合的數學思想。

　　方案2：以兩定點的連線為X軸，其垂直平分線為Y軸

　　學生可能有很多種建系方法，根據課堂的實際情況進行處理。不能否定學生的方法，讓學生自己討論那種建系方法更為合適，我想學生通過這些活動能夠建立幾種常見的坐標系，并列出相應的代數方程。我認為這樣有利于培養學生的動手實驗，分析比較，相互協作等能力。讓學生體驗到知識的產生過程。

　　三. 標準方程比較

　�。ㄗ寣W生討論，歸的標準方程有何異同）（1）相同點納出這兩種形式的標準方程有何異同）

　�。�1）相同點

　　①方程中x，y表示橢圓上任意一點 ②關于x，y的二元二次方程；

　�、劢裹c位置的判定：焦點在較大分坐標；

　�。�2）不同點

　�、俜匠绦问� ②圖形 ③焦點坐標

　　由于化簡兩個根式的方程的方法特殊，難度較大，估計學生容易想到直接平方，這時可讓學生預測這樣化簡的難度，從而確定移項平方可以簡化計算。為此，我首先啟發學生如何去掉根號較好，讓學生動手比較，最后得出移項平方化簡方程比較簡單，這樣有利于培養學生的分析比較能力。

　　七、教學評價設計（創建量規，向學生展示他們將被如何評價（來自教師和小組其他成員的評價）。也可以創建一個自我評價表，這樣學生可以用它對自己的學習進行評價）

　　橢圓方程的化簡是學生從未經歷的問題，方程的推導過程采用學生分組探究，師生共同研討方程的化簡和方程的特征，可以讓學生主體參與橢圓方程建立的具體過程，使學生真正了解橢圓標準方程的來源，并在這種師生嘗試探究、合作討論的活動中，使學生體會成功的快樂，提高學生的數學探究能力，培養學生獨立主動獲取知識的能力

　　八、板書設計（本節課的主板書）

　　一．定義

　　二. 標準方程比較

　　1）相同點 ①方程中x，y表示橢圓上任意一點的坐標； ②關于x，y的二元二次方程； ③焦點位置的判定：焦點在較大分母對應的變量的坐標軸上

　　2）不同點 ①方程形式 ②圖形 ③焦點坐標

　　九．教學反思

　　橢圓是圓錐曲線中重要的一種，本節內容的學習是后繼學習其它圓錐曲線的基礎，坐標法是解析幾何中的重要數學方法，橢圓方程的推導是利用坐標法求曲線方程的很好應用實例。本節課內容的學習能很好地在課堂教學中展現新課程的理念，主要采用學生自主探究學習的方式，使培養學生的探索精神和創新能力的教學思想貫穿于本節課教學設計的始終。

　　橢圓是生活中常見的圖形，通過實驗演示，創設生動而直觀的情境，使學生親身體會橢圓與生活聯系，有助于激發學生對橢圓知識的學習興趣；在橢圓概念引入的過程中，改變了直接給出橢圓概念和動畫畫出橢圓的方式，而采用學生動手畫橢圓并合作探究的學習方式，讓學生親身經歷橢圓概念形成的數學化過程，有利于培養學生觀察分析、抽象概括的能力。

　　數學《橢圓及其標準方程》教學設計篇3

　　一、教學內容解析

　　橢圓的定義是一種發生性定義，教學內容屬概念性知識，是通過描述橢圓形成過程進行定義的。作為橢圓本質屬性的揭示和橢圓方程建立的基石，理應作為本堂課的教學重點同時，橢圓的標準方程作為今后研究橢圓性質的根本依據，自然成為本節課的另一教學重點。學生對“曲線與方程”的內在聯系（數形結合思想的具體表現）僅在“圓的方程”一節中有過一次感性認識。但由于學生比較了解圓的性質，從“曲線與方程”的內在聯系角度來看，學生并未真正有所感受。所以，橢圓定義和橢圓標準方程的聯系成為了本堂課的教學難點。

　　圓錐曲線是平面解析幾何研究的主要對象，圓錐曲線的有關知識不僅在生產、日常生活和科學技術中有著廣泛的應用，而且是今后進一步數學的基礎教科書以橢圓為學習圓錐曲線的開始和重點，并以之來介紹求圓錐曲線方程和利用方程討論幾何性質的一般方法，可見本節內容所處的重要地位。

　　通過本節學習，學生一方面認識到一般橢圓與圓的區別與聯系，另一方面也為后面利用方程研究橢圓的幾何性質以及為學生類比橢圓的研究過程和方法，學習雙曲線、拋物線奠定了基礎。學習過程啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于思考，學會分析問題和創造地解決問題；培養學生抽象概括能力和邏輯思維能力。

　　二、教學目標設置：

　　1．知識與技能目標

　�。�1）學生能掌握橢圓的定義明確焦點、焦距的概念．

　　（2）學生能推導并掌握橢圓的標準方程．

　　（3）學生在學習過程中進一步感受曲線方程的概念，體會建立曲線方程的基本方法，運用數形結合的數學思想方法解決問題．

　　2．過程與方法目標：

　�。�1）學生通過經歷橢圓形成的情境感知橢圓的定義并親自參與歸納．培養學生發現規律、認識規律的能力．

　　（2）學生類比圓的方程的推導過程嘗試推導橢圓標準方程，培養學生利用已知方法解決實際問題的能力．

　　（3）在橢圓定義的獲得和其標準方程的推導過程中進一步滲透數形結合等價轉化等數學思想方法．

　　3．情感態度與價值觀目標：

　�。�1）通過橢圓定義的獲得讓學生感知數學知識與實際生活的密切聯系培養學生探索數學知識的興趣并感受數學美的熏陶．

　　（2）通過標準方程的推導培養學生觀察，運算能力和求簡意識并能懂得欣賞數學的“簡潔美”．

　�。�3）通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協作能力的培養，增強主動與他人合作交流的意識．

　　三、學生學情分析

　　1．能力分析

　�、賹W生已初步掌握用坐標法研究直線和圓的方程，

　�、趯袃蓚€根式方程的化簡能力薄弱．

　　2．認知分析

　　①學生已初步熟悉求曲線方程的基本步驟，

　�、趯W生已經掌握直線和圓的方程，對曲線的方程的概念有一定的了解，

　　③學生已經初步掌握研究直線和圓的基本方法．

　　3．情感分析

　　學生具有積極的學習態度，強烈的探究欲望，能主動參與研究．

　　四、教學策略分析

　　教學中通過創設情境，充分調動學生已有的學習經驗，讓學生經歷“創設情境——總結概括——啟發引導——探究完善——實際應用”的過程，發現新的知識，又通過實際操作，使剛產生的數學知識得到完善，提高了學生動手動腦的能力和增強了研究探索的綜合素質．

　　課堂教學中創設問題的情境，激發學生主動的發現問題解決問題，充分調動學生學習的主動性、積極性；有效地滲透數學思想方法，發展學生思維品質，這是本節課的教學原則．根據這樣的原則及所要完成的教學目標，我采用如下的教學方法和手段：

　　1．引導發現法：用課件演示動點的軌跡，啟發學生歸納、概括橢圓定義．

　　2．探索討論法：由學生通過聯想、歸納把原有的求軌跡方法遷移到新情況中，有利于學生對知識進行主動建構；有利于突出重點，突破難點，發揮其創造性．

　　這兩種方法是適應新課程體系的一種全新教學模式，它能更好地體現學生的主體性，實現師生、生生交流，體現課堂的開放性與公平性．

　　在教學中適當利用多媒體課件輔助教學，增強動感及直觀感，增大教學容量，提高教學質量．

　　五、教學過程：

　�。ㄒ唬⿵土曇�

　　1．說一說你對生活中橢圓的認識．伴隨圖片展示使同學們感到橢圓就在我們身邊．

　　意圖：

　　（1）、從學生所關心的實際問題引入，使學生了解數學來源于實際．

　�。�2）、使學生更直觀、形象地了解后面要學的內容；

　　2．手工操作演示橢圓的形成：取一條定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上同一定點，套上筆拉緊繩子，移動筆尖畫出的軌跡是圓．再將這一條定長的細繩的兩端固定在畫圖板上的兩定點，當繩長大于兩點間的距離時，用鉛筆把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓隨后動畫呈現．

　　意圖：

　�。�1）通過畫圖給學生提供一個動手操作、合作學習的機會；調動學生學習的積極性

　�。�2）多媒體演示向學生說明橢圓的具體畫法，更直觀形象．

　�。ǘ┲v解新課由學生畫圖及教師演示橢圓的形成過程，引導學生歸納定義．

　　1.橢圓定義：

　　平面內與兩個定點的距離之和等于常數2a的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。

　　練習1：已知兩個定點坐標分別是（—4，0）、（4，0），動點P到兩定點的距離之和等于8，則P點的軌跡是？

　　練習2：已知兩個定點坐標分別是（—4，0）、（4，0），動點P到兩定點的距離之和等于6，則P點的軌跡是？

　　通過兩個練習思考：橢圓定義需要注意什么（于意圖：讓學生通過練習反思畫圖，歸納定義，理解定義，突破了重點．

　�。�1）、當2a>|F1F2|時，是橢圓；（2）、當2a=|F1F2|時，是線段；

　　2.根據定義推導橢圓標準方程：

　　要求

　�。�1）學生在畫板上建立適當的坐標系，

　�。�2）根據定義推導橢圓的標準方程．

　　同時引導學生類比圓回顧解析幾何研究問題的特點及求軌跡方程步驟

　　意圖：讓學生自己去建系推導橢圓的標準方程，給學生較多的思考問題的時間和空間，變“被動”為“主動”，變“灌輸簡潔美”為“發現簡潔美”．教師結合猜想加以引導．化簡無理方程為難點通過發現問題解決問題突破難點．

　　數學《橢圓及其標準方程》教學設計篇4

　　前言：

　　新課程改革實施以來，教學模式發生了重大的改變，由以往的“一言堂”形式向多種“開放式”教學模式進行轉變，在教育觀念的不斷轉變下，對于我們的一線老師也提出了更高的要求，新形勢下，要想成為一名合格的老師，就需要不斷的加強自己的業務能力，使自己能夠變成一名受學生尊重和喜愛的老師，從而更好的提高學生的教學成績。

　　基于以上原因，本人嘗試制定出橢圓及其標準方程第一課時的教學設計如下：

　　一，教材分析

　　本節課是《全日制普通高中課程標準實驗教科書》（選修１－１）（人民教育出版社課程教材研究所中學數學教材實驗研究組編著）第二章《圓錐曲線與方程》第一節《橢圓》的第一課時。在學習本課之前，我們已經學習了直接和圓的相關內容，使學生對于曲線和方程的概念有了一定的了解，同時，對于利用坐標法來研究幾何也有了一定的認識，對于數形結合思想也有了一定的了解，從根本上來講，本節課也屬于曲線方程的一個延伸，也是利用坐標法來研究幾何圖形的進一步加強，本節課的掌握情況的好壞，將直接影響后面雙曲線和拋物線的學習。對于學好圓錐曲線也有重要的意義。

　　橢圓這一節課體現出來的一些學習方法對于后面雙曲線和拋物線的學習有一個重要的引導作用，但是本節課也難度較大，對于缺乏數形結合能力，不愛作圖的學生來廛，學習起來是非常困難的，尤其是我所要教授的是一群普通高中的學生，更是難上加難的。

　　二，學習對象分析

　　１.學習對象

　　本節課重點講解內容是橢圓，經過上一節課的學習，學生有了一些求點的軌跡問題的知識基礎和能力，但是由于我們的學生作為普通高中的一名學生，在高中招走７００名學生后，才進入到我們學校的學生來講，他們的起點低，學習習慣不好，導致了我們的教學難度的加大，所以，從研究圓，跨越到橢圓，學生會存在一定學習上的障礙，教學過程中更要注意這方面的教學。對于學生的抽象思維，分析能力都是一個較大的考驗。

　�。�.知識基礎

　　上課前，要對學生對于直線和圓的方程，以及曲線和方程部分知識點進行適當的回顧，將學生拉到利用坐標法來解決實際問題的過程中來。對于當初圓的標準方程的得出過程讓學生重新整理一下思路。

　　3.能力基礎

　　對于學生培養起利用坐標法研究幾何圖形，充分鍛煉學生的抽象能力和數形結合思想，使學生能夠學以致用，將來更好地應用到學習中去。對于我的學生來講，這些都是比較難做到的，在教學過程中，更應該有足夠的耐心。

　　三，學習目標

　　根據新課程標準的要求，以及我們學校學生的實際學習情況，將本節課的教學目標確定為知識與技能目標、過程與方法目標、情感態度與價值觀目標，具體如下：

　　1.知識與能力目標

　　（1）掌握橢圓的定義（理解橢圓、橢圓的焦點和橢圓的焦距的定義）及其標準方程，教會學生如何在整理過程中準確，快速得到我們所要整理代數式的答案。

　�。�2）通過對于橢圓標準方程的整理過程，進一步加強學生的計算能力，增強學生利用坐標系分析解決問題的能力，體會數形結合思想的應用。

　�。�3）能夠根據所給條件，準確快速寫出橢圓的標準方程（包括焦點坐標、焦距）

　　2.過程與方法目標

　�。�1）利用布置給學生需要帶的強子，兩人合作作出橢圓，使學生帶有愉悅的心情，完成橢圓的繪制過程，提高了學生的動手能力和合作學習能力。

　　（2）通過兩名同學的繪制過程，讓學生體會到點的運動規律，培養學生將抽象轉變為具體，歸納知識等能力的提高。讓學生通過橢圓的繪制，給出橢圓的定義，完成教學的第一個難點內容。并通過些種方法，激發學生的學習興趣，幫助他們重新樹立信心，完成本節課的教學。

　　四、學習重點、難點

　　根據以上的教學分析，將本節課的重點、難點確定為：

　　1.學習重點

　　重點：掌握橢圓的定義及其標準方程。

　　通過對于教材的分析及本節課的內容，橢圓的的定義是本節課的重點，也是將來做題的時候經常用到的。必須在學生的做圖過程中，讓學生體會到一個個動點到兩個定點距離和等長數（繩長）這一過程，這樣才能夠加深學生對于橢圓定義的理解，更好的將它們應用的實際問題的解決過程中去。通過對于“定長”的分析，加深學生對于橢圓定義的理解

　　突破重點的關鍵：運用多媒體手段，制作橢圓形成過程的動太圖，通過圖形的形成過程，引導學生給出橢圓的定義。使學生對于橢圓的認識從感覺性認識上升到理性認識。

　　2．學習難點

　　難點：橢圓標準方程形式及推導過程。

　　通過對于教材的分析及本節課的實際內容需要，橢圓的標準議程的推導過程（如何建系）是本小節的難點所在，在推導過程中應該注意：

　�。�1）如何建系，好的坐標系的建立，可以幫助我們先解決至少一半的難點。

　�。�2）焦點位置的選擇，（兩種狀態）

　　突破難點的關鍵：掌握建立坐標系的方法及化簡根式的方法（快速而準確）恰當的展示建立坐標系的方法，合理分配根式的化簡步驟，引導學生一步步給出正確的整理過程，得出正確的橢圓的標準方程。在此過程中，老師必須要有足夠的耐心，給學生充足的時間，適時點撥，也可以讓學生進行分組討論，共同研究出解決問題的方法，這些都有利于我們化解難點、突破難點。

　　五．學習目標

　�。�1）師生共同用繩做出橢圓，使學生相信原來他們也可以做出如此優美的曲線，再通過課件展示橢圓的形成過程，使學生認識到科技的重要性，進行適當的科學教育。

　�。�2）進一步加強師生互動，加深學生與老師的感情培養，更好的利用教學相長這一特點。

　　六．學習思路設計

　　能過對新課標的學習，在現行教學手段下，結合現代教育技能對于本節課進行教學設計，對于學習目標的確定，具體如下：

　　1.利用先進的科學技術手段，對學生灌輸正能量，轉化為動力，更好地投入到學習中去。

　　2.課件展示橢圓的形成過程，對于學生對于橢圓的理解是有很大的幫助的，也能夠更好地幫助學生理解橢圓。

　　3．教學方法的設計（1）教法

　　新課標要求以“學生發展為核心”，老師是學生的組織都、促進者、合作者，在教學過程中要注意以學生為主體，讓學生真正地動起來，體現出學生的主體作用，讓學生動手作圖，使學生能夠真正地參與到教學中來，激發學生的學習興趣。學生現階段對于一切新鮮事物都有好奇心，這樣做，使他們能夠以極大的熱情參與到我們的教學過程中來，才能更好地提高他們的學習成績，更好地完成我們的教學過程。

　�。�2）學法

　　在學法方面，增強學生的自主性、互動性、探究性的學習，讓學生以一種自主探索、合作交流的方式參與到學習過程中來，會有事半功倍的效果的。只有這樣做，才能使他們對于所學的內容有了更深層次的認識，只有學生積極主動的參與到了學習過程中來，我們老師才能更好地完成我們的教學過程。

　　（３）本節課時：

　　一、創設情境，引入課題。

　　二、實驗探究，研究概念。

　　三、研究探討，推導程。

　　四、歸納概括，

　　五、應用舉例，變式鞏固。

　　六、課堂小節，布置作業。

　　七．課堂準備本課時，需要學生自己動手繪制橢圓，安排學生提前準備好一要細繩（不帶彈力）。

　　八，課時安排（1課時）橢圓及其標準方程

　　九、學習設計

　�。ㄒ唬﹦撛O情境，引入課題

　　1，創設情境

　　課件展示行星圍繞太陽旋轉的gif圖，引導學生觀察行運行軌跡，通過學生的講述，得到我們本節課的課題：橢圓及其標準方程。

　　設計意圖：根本圖片上絢麗的色彩，及星空的美麗，引發學生的求知遇。也許有一天，他們也會飛向太空，通過這樣的方式，使學生明確本節課的學習目標。

　　2，引入課題

　　課件展示利用平面去截取對頂圓錐所能到的截面的形狀，給出課題，適當回顧前面所學過的圓的知識及圓的標準方程。

　　設計意圖：再次激發出學生的學習興趣及求知欲。學生活動：對老師提出的問題，進行思考回答。

　�。ǘ⿲嶒炋骄�，形成概念

　　1.實驗探究

　　動手實驗：以學生為中心，安排兩名學生黑板演示橢圓的形成過程，（老師引導學生完成），展示完畢后，讓下面的同學，同桌之間相互合作，完成橢圓的制作過程。并在學生實驗過程中提出如下問題：（1）橢圓是一些什么樣的點所圍成的圖形？

　　（2）它們滿足什么規律（什么是不變的）？

　　2.形成概念

　　老師課件展示橢圓的形成過程，（通過不斷的變化引導學生喜歡上橢圓），引導學生給出橢圓的定義：平面內到兩個定點的距離的等于常數的點的軌跡叫橢圓。教師給出焦點，焦距的概念。再具體給學生分析定長與兩點間距離的關系，加深學生對于橢圓的定義的理解與掌握。

　　設計意圖：通過以上形式，引導學生進入本節課的學習情境，完成本節課的教學。

　　（三）研討探究、推導方程

　　1.研討探究

　　老師活動：通過剛才的課件展示，引導學生對于前面所學知識的回顧，并使學生嘗試推導橢圓的標準方程：

　　（1）如何建立平面直角坐標系？

　　（2）不同的建系方法，哪種形式看起來更為方便？

　　設計意圖：通過回顧前面所學的知識，使學生能更快的理解并掌握橢圓的方程的推導過程。

　�。�.推導方程課件展示橢圓并提問。

　　師：如何將橢圓放置到平面直角坐標系中？生：經過討論給出應該以焦點所有直線做為X軸，以線段中點為坐標原點的建系方法。

　　師：對于學生的回答給予肯定，夸獎一下，使學生能夠樂呵呵地投入到接下來讓人頭疼的化簡過程中來。

　　課件展示橢圓方程整理過程中的部分重點步驟，起到一個引導作用，并及時糾正學生所出現的錯誤，使學生能夠順利準備的完成橢圓標準方程的整理過程。

　�。ㄋ模w納概括

　　師：通過前面的學習，得到了橢圓的標準方程，那么我們能否轉變一下焦點所在的位置，換一種方法，得到焦點在Y軸上的橢圓的標準方程。讓學生分組討論，整理出另一種橢圓的標準方程。課件展示橢圓的兩種標準方程。

　　（五）應用舉例，變式鞏固

　　課件展示例題：

　　例１。根據下列條件，求橢圓的標準方程

　�。ǎ保﹥蓚€焦點坐標分另是（－３，０），（３，０）。橢圓上一點Ｐ與兩焦點的距離和等于８；

　　（２）兩個焦點的坐標分別是（０，－４），（０，４），并且橢圓經過點（3，5）；

　　引導學生獨立完成這兩道例題，老師適當給予充分和肯定�；脽粽故窘忸}的過程。

　�。┱n堂小結，布置作業１，課堂小結

　　（１）橢圓是一種優美的曲線，通過本節學習認識到幾何圖形的美感。

　　（２）掌握橢圓的定義及其標準方程。熟練掌握曲線方程的整理過程。設計意圖：進一步加深學生對于橢圓及其相關的內容的理解與掌握。２，布置作業

　　教材P43習題２－１Ａ第１題

　　設計意圖：加強學生對于橢圓的理解與掌握

　　數學《橢圓及其標準方程》教學設計篇5

　　一、教材分析

　�。ㄒ唬┙滩牡牡匚缓妥饔�

　　本節是繼直線和圓的方程之后，用坐標法研究曲線和方程的又一次實際演練。橢圓的學習可以為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎。因此這節課有承前啟后的作用，是本章和本節的重點內容之一。

　�。ǘ┙虒W重點、難點

　　1、教學重點：橢圓的定義及其標準方程

　　2、教學難點：橢圓標準方程的推導

　�。ㄈ┤S目標

　　1、知識與技能：掌握橢圓的定義和標準方程，明確焦點、焦距的概念，理解橢圓標準方程的推導。

　　2、過程與方法：通過引導學生親自動手嘗試畫圖、發現橢圓的形成過程進而歸納出橢圓的定義，培養學生觀察、辨析、類比、歸納問題的能力。

　　3、情感、態度、價值觀：通過主動探究、合作學習，相互交流，對知識的歸納總結，讓學生感受探索的樂趣與成功的喜悅，增強學生學習的信心。

　　二、教學方法和手段

　　采用啟發式教學，在課堂教學中堅持以教師為主導，學生為主體，思維訓練為主線，能力培養為主攻的原則。

　　“授人以魚，不如授人以漁�！币髮W生動手實驗，自主探究，合作交流，抽象出橢圓定義，并用坐標法探究橢圓的標準方程，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。

　　三、教學程序

　　1、創設情境，認識橢圓：通過實驗探究，認識橢圓，引出本節課的教學內容，激發了學生的求知欲。

　　2、畫橢圓：通過畫圖給學生一個動手操作，合作學習的機會，從而調動學生的學習興趣。

　　3、教師演示：通過多媒體演示，再加上數據的變化，使學生更能理性地理解橢圓的形成過程。

　　4、橢圓定義：注意定義中的三個條件，使學生更好地把握定義。

　　5、推導方程：教師引導學生化簡，突破難點，得到焦點在x軸上的橢圓的標準方程，利用學生手中的圖形得到焦點在軸上的橢圓的標準方程，并且對橢圓的標準方程進行了再認識。

　　6、例題講解：通過例題規范學生的解題過程。

　　7、鞏固練習：以多種題型鞏固本節課的教學內容。

　　8、歸納小結：通過小結，使學生對所學的知識有一個完整的體系，突出重點，抓住關鍵，培養學生的概括能力。

　　9、課后作業：面對不同層次的學生，設計了必做題與選做題。

　　10、板書設計：目的是為了勾勒出全教材的主線，呈現完整的知識結構體系并突出重點，用彩色增加信息的'強度，便于掌握。

　　四、教學評價

　　本節課貫徹了新課程理念，以學生為本，從學生的思維訓練出發，通過學習橢圓的定義及其標準方程，激活了學生原有的認知規律，并為知識結構優化奠定了基礎。

　　數學《橢圓及其標準方程》教學設計篇6

　　教學目標：

　　(一)知識目標：掌握橢圓的定義及其標準方程,能正確推導橢圓的標準方程.

　　(二)能力目標：培養學生的動手能力、合作學習能力和運用所學知識解決實際問題的能力;培養學生運用類比、分類討論、數形結合思想解決問題的能力.

　　(三)情感目標：激發學生學習數學的興趣、提高學生的審美情趣、培養學生勇于探索,敢于創新的精神.

　　教學重點：

　　橢圓的定義和橢圓的標準方程.

　　教學難點：

　　橢圓標準方程的推導.

　　教學方法：

　　探究式教學法,即教師通過問題誘導→啟發討論→探索結果,引導學生直觀觀察→歸納抽象→總結規律,使學生在獲得知識的同時,能夠掌握方法、提升能力.

　　教具準備：

　　多媒體課件和自制教具：繪圖板、圖釘、細繩.

　　教學過程：

　　(一)設置情景,引出課題

　　問題：XX年10月12日上午9時,“神舟六號”載人飛船順利升空,實現多人多天飛行,標志著我國航天事業又上了一個新臺階,請問：“神舟六號”飛船的運行軌道是什么?多媒體展示“神舟六號”運行軌道圖片.

　　(二)啟發誘導,推陳出新

　　復習舊知識：圓的定義是什么?圓的標準方程是什么形式?

　　提出新問題：橢圓是怎么畫出來的?橢圓的定義是什么?它的標準方程又是什么形式?

　　引出課題：橢圓及其標準方程

　　(三)小組合作,形成概念

　　動畫演示橢圓形成過程.

　　提問：點m運動時,f1、f2移動了嗎?點m按照什么條件運動形成的軌跡是橢圓?

　　下面請同學們在繪圖板上作圖,思考繪圖板上提出的問題：

　　1.在作圖時,視筆尖為動點,兩個圖釘為定點,動點到兩定點距離之和符合什么條件?其軌跡如何?

　　2.改變兩圖釘之間的距離,使其與繩長相等,畫出的圖形還是橢圓嗎?

　　3.當繩長小于兩圖釘之間的距離時,還能畫出圖形嗎?

　　學生經過動手操作→獨立思考→小組討論→共同交流的探究過程,得出這樣三個結論：

　　橢圓

　　線段

　　不存在

　　并歸納出橢圓的定義：平面內與兩個定點、的距離的和等于常數(大于 )的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.

　　(四)橢圓標準方程的推導：

　　1.回顧：求曲線方程的一般步驟：建系、設點、列式、化簡.

　　2.提問：如何建系,使求出的方程最簡?

　　由各小組討論,請小組代表匯報研討結果.

　　各組分別選定一種方案：(以下過程按照第一種方案)

　�、俳ㄏ担阂� 所在直線為x軸,以線段的垂直平分線為y軸,建立直角坐標系。

　�、谠O點：設是橢圓上任意一點,為了使的坐標簡單及化簡過程不那么繁雜,設 ,則

　　設與兩定點的距離的和等于

　�、哿惺剑� ∴

　�、芑啠�(這里,教師為突破難點,進行設問：我們怎么化簡帶根式的式子?對于本式是直接平方好還是整理后再平方好呢?)

　　數學《橢圓及其標準方程》教學設計篇7

　　教學目標：

　　(一)知識目標：掌握橢圓的定義及其標準方程，能正確推導橢圓的標準方程.

　　(二)能力目標：培養學生的動手能力、合作學習能力和運用所學知識解決實際問題的能力;培養學生運用類比、分類討論、數形結合思想解決問題的能力.

　　(三)情感目標：激發學生學習數學的興趣、提高學生的審美情趣、培養學生勇于探索，敢于創新的精神.

　　教學重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程.

　　教學難點：橢圓標準方程的推導.

　　教學方法：探究式教學法，即教師通過問題誘導啟發討論探索結果，引導學生直觀觀察歸納抽象總結規律，使學生在獲得知識的同時，能夠掌握方法、提升能力.

　　教具準備：多媒體課件和自制教具：繪圖板、圖釘、細繩.

　　教學過程

　　(一)設置情景，引出課題:

　　1.對橢圓的感性認識.通過演示課前老師和學生共同準備的有關橢圓的實

　　物和圖片，讓學生從感性上認識橢圓.

　　2.通過動畫設計，展示橢圓的形成過程，使學生認識到橢圓是點按一定規律運動的軌跡。

　　提問：點M運動時，F1、F2移動了嗎?點M按照什么條件運動形成的軌跡是橢圓?

　　下面請同學們在繪圖板上作圖，思考繪圖板上提出的問題：

　　1.在作圖時，視筆尖為動點，兩個圖釘為定點，動點到兩定點距離之和符合什么條件?其軌跡如何?

　　2.改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎?

　　3.當繩長小于兩圖釘之間的距離時，還能畫出圖形嗎?

　　(二)研討探究，推導方程

　　1、知識回顧：利用坐標法求曲線方程的一般方法和步驟是什么?

　　數學《橢圓及其標準方程》教學設計篇8

　　教學目標

　　1、掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；

　　2、能根據條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數法求橢圓的標準方程；

　　3、通過對橢圓概念的引入教學，培養學生的觀察能力和探索能力；

　　4、通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數形結合和等價轉化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力；

　　5、通過讓中國學習聯盟膽探索橢圓的定義和標準方程，激發學生學習數學的積極性，培養學生的學習興趣和創新意識。

　　教學建議

　　教材分析

　　1、知識結構

　　2、重點難點分析

　　重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式。難點是橢圓標準方程的建立和推導。關鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法。

　　橢圓及其標準方程這一節教材整體來看是兩大塊內容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程。橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用。先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然。學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的。

　　（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質，可以對比圓的定義來理解。

　　另外要注意到定義中對“常數”的限定即常數要大于。這樣規定是為了避免出現兩種特殊情況，即：“當常數等于時軌跡是一條線段；當常數小于時無軌跡”。這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質。但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性。

　　（2）根據橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點：

　�、偾€的方程依賴于坐標系，建立適當的坐標系，是求曲線方程首先應該注意的地方。應讓學生觀察橢圓的圖形或根據橢圓的定義進行推理，發現橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔。

　　②設橢圓的焦距為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為，令，這些措施，都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領會。

　�、墼诜匠痰耐茖н^程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經常遇到的問題，又是學生的難點。要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移至另一側；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側，并使其中一側只有一項。

　�、芙炭茣蠈E圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程 “而沒有證明，”方程的解為坐標的點都在橢圓上”。這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求。

　　（3）兩種標準方程的橢圓異同點

　　中心在原點、焦點分別在軸上，軸上的橢圓標準方程分別為：，。它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有，不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點坐標也不同。

　　橢圓的焦點在軸上標準方程中項的分母較大；

　　橢圓的焦點在軸上標準方程中項的分母較大。

　　另外，形如中，只要，，同號，就是橢圓方程，它可以化為。

　�。�4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法。例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向學生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓。

　　教法建議

　�。�1）使學生了解圓錐曲線在生產和科學技術中的應用，激發學生的學習興趣。

　　為激發學生學習圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學生對所要研究的內容心中有數，如書中所給的例子，還可以啟發學生尋找身邊與圓錐曲線有關的例子。

　　例如，我們生活的地球每時每刻都在環繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上。如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行。人類發射人造地球衛星或人造行星就要遵循這個原理。相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道。因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的。

　�。�2）安排學生課下切割圓錐形的事物，使學生了解圓錐曲線名稱的來歷

　　為了讓學生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節約課堂時間，教學時應安排讓學生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認識。

　�。�3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學生從感性認識入手，逐步上升到理性認識，形成正確的概念。

　　教師可從太陽、地球、人造地球衛星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學生先對橢圓有一個直觀的了解。

　　教師可事先準備好一根細線及兩根釘子，在給出橢圓在數學上的嚴格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細線的長度），再讓兩名學生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細線的長度），然后再請剛才兩名學生按同樣的要求作圖。學生通過觀察兩次作圖的過程，總結出經驗和教訓，教師因勢利導，讓學生自己得出橢圓的嚴格的定義。這樣，學生對這一定義就會有深刻的了解。

　�。�4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現橢圓的定義的實質

　　在教學時，可以設置幾個問題，讓學生動手動腦，獨立思考，自主探索，使學生根據提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學過程（）中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內涵，這樣就使得學生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

　�。�5）注意橢圓的定義與橢圓的標準方程的聯系

　　在講解橢圓的定義時，就要啟發學生注意橢圓的圖形特征，一般學生比較容易發現橢圓的對稱性，這樣在建立坐標系時，學生就比較容易選擇適當的坐標系了，即使焦點在坐標軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質）。雖然這時學生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標系，但在有了一定感性認識的基礎上再講解選擇適當坐標系的一般原則，學生就較為容易接受，也向學生逐步滲透了坐標法。

　�。�6）推導橢圓的標準方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法。

　　推導橢圓的標準方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數，化簡時要進行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數高、項數多，教學時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學生對橢圓的標準方程的推導過程的整體認識。通過具體的例子使學生循序漸進的解決帶跟式的方程的化簡，即：

　　1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；

　　2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項。（為了避免二次平方運算）

　�。�7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標準方程后，教師要啟發學生自己研究焦點在y軸上的標準方程，然后鼓勵學生探索橢圓的兩種標準方程的異同點，加深對橢圓的認識。

　　（8）在學習新知識的基礎上要鞏固舊知識

　　橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導橢圓的標準方程中要注意進一步鞏固曲線和方程的概念。對于教材上在推出橢圓的標準方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向學生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒有給出證明過程，但學生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析。

　�。�9）要突出教師的主導作用，又要強調學生的主體作用，課上盡量讓全體學生參與討論，由基礎較差的學生提出猜想，由基礎較好的學生幫助證明，培養學生的團結協作的團隊精神。

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