高一數學函數的知識點總結

　　在我們的學習時代，是不是聽到知識點，就立刻清醒了？知識點在教育實踐中，是指對某一個知識的泛稱。相信很多人都在為知識點發愁，下面是小編收集整理的高一數學函數的知識點總結，希望對大家有所幫助。

　　高一數學函數的知識點總結 1

　　1. 函數的奇偶性

　　(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x) ;

　　(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則 f(0)=0(可用于求參數);

　　(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);

　　(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;

　　(5)奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性;偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性;

　　2. 復合函數的有關問題

　　(1)復合函數定義域求法：若已知 的定義域為[a，b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域(即 f(x)的'定義域);研究函數的問題一定要注意定義域優先的原則。

　　(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定;

　　3.函數圖像(或方程曲線的對稱性)

　　(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;

　　(2)證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上，反之亦然;

　　(3)曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

　　(4)曲線C1:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;

　　(5)若函數y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱;

　　(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關于直線x= 對稱;

　　4.函數的周期性

　　(1)y=f(x)對x∈R時，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;

　　(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;

　　(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;

　　(4)若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2 的周期函數;

　　(5)y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期為2 的周期函數;

　　(6)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2 的周期函數;

　　5.方程k=f(x)有解 k∈D(D為f(x)的值域);

　　6.a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;

　　7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);

　　(3) l og a b的符號由口訣“同正異負”記憶; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );

　　8. 判斷對應是否為映射時，抓住兩點：(1)A中元素必須都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

　　9. 能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。

　　10.對于反函數，應掌握以下一些結論：(1)定義域上的單調函數必有反函數;(2)奇函數的反函數也是奇函數;(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;(4)周期函數不存在反函數;(5)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性;

　　(5) y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).

　　11.處理二次函數的問題勿忘數形結合;二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關系;

　　12. 依據單調性，利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題

　　13. 恒成立問題的處理方法：(1)分離參數法;(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解。

　　高一數學函數的知識點總結 2

　　一、函數的概念與表示

　　1、映射

　　(1)映射：設A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應(包括集合A、B以及A到B的對應法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。

　　注意點：(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應是映射的方法。一對多不是映射，多對一是映射

　　2、函數

　　構成函數概念的三要素

　�、俣�義域②對應法則③值域

　　兩個函數是同一個函數的.條件：三要素有兩個相同

　　二、函數的解析式與定義域

　　1、求函數定義域的主要依據：

　　(1)分式的分母不為零;

　　(2)偶次方根的被開方數不小于零，零取零次方沒有意義;

　　(3)對數函數的真數必須大于零;

　　(4)指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1;

　　三、函數的值域

　　1求函數值域的方法

　�、僦苯臃ǎ簭淖宰兞縳的范圍出發，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡單的復合函數;

　�、趽Q元法：利用換元法將函數轉化為二次函數求值域，適合根式內外皆為一次式;

　�、叟袆e式法：運用方程思想，依據二次方程有根，求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈R的分式;

　�、芊蛛x常數：適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖);

　�、輪握{性法：利用函數的單調性求值域;

　�、迗D象法：二次函數必畫草圖求其值域;

　　⑦利用對號函數

　　⑧幾何意義法：由數形結合，轉化距離等求值域。主要是含絕對值函數

　　四.函數的奇偶性

　　1.定義:設y=f(x)，x∈A，如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為偶函數。

　　如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為奇

　　函數。

　　2.性質：

　�、賧=f(x)是偶函數y=f(x)的圖象關于軸對稱,y=f(x)是奇函數y=f(x)的圖象關于原點對稱,

　�、谌艉瘮礷(x)的定義域關于原點對稱，則f(0)=0

　　③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數的定義域D1，D2，D1∩D2要關于原點對稱]

　　3.奇偶性的判斷

　�、倏炊�義域是否關于原點對稱②看f(x)與f(-x)的關系

　　五、函數的單調性

　　1、函數單調性的定義：

　　2、設是定義在M上的函數，若f(x)與g(x)的單調性相反，則在M上是減函數;若f(x)與g(x)的單調性相同，則在M上是增函數。

　　高一數學函數的知識點總結 3

　　一：函數及其表示

　　知識點詳解文檔包含函數的概念、映射、函數關系的判斷原則、函數區間、函數的三要素、函數的定義域、求具體或抽象數值的函數值、求函數值域、函數的表示方法等

　　1. 函數與映射的區別：

　　2. 求函數定義域

　　常見的用解析式表示的函數f(x)的定義域可以歸納如下：

　�、佼攆(x)為整式時，函數的定義域為R.

　�、诋攆(x)為分式時，函數的定義域為使分式分母不為零的實數集合。

　�、郛攆(x)為偶次根式時，函數的定義域是使被開方數不小于0的實數集合。

　　④當f(x)為對數式時，函數的定義域是使真數為正、底數為正且不為1的實數集合。

　　⑤如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合，即求各部分有意義的實數集合的交集。

　�、迯秃虾瘮档亩�義域是復合的各基本的函數定義域的交集。

　�、邔τ谟蓪嶋H問題的背景確定的函數，其定義域除上述外，還要受實際問題的制約。

　　3. 求函數值域

　　(1)、觀察法：通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域;

　　(2)、配方法;如果一個函數是二次函數或者經過換元可以寫成二次函數的形式，那么將這個函數的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數的值域;

　　(3)、判別式法：

　　(4)、數形結合法;通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域;

　　(5)、換元法;以新變量代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式，進而求出值域;

　　(6)、利用函數的`單調性;如果函數在給出的定義域區間上是嚴格單調的，那么就可以利用端點的函數值來求出值域;

　　(7)、利用基本不等式：對于一些特殊的分式函數、高于二次的函數可以利用重要不等式求出函數的值域;

　　(8)、最值法：對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域;

　　(9)、反函數法：如果函數在其定義域內存在反函數，那么求函數的值域可以轉化為求反函數的定義域。

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　　【(一)、映射、函數、反函數】

　　1、對應、映射、函數三個概念既有共性又有區別，映射是一種特殊的對應，而函數又是一種特殊的映射.

　　2、對于函數的概念，應注意如下幾點：

　　(1)掌握構成函數的三要素，會判斷兩個函數是否為同一函數.

　　(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數關系式，特別是會求分段函數的解析式.

　　(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的復合函數，其中g(x)為內函數，f(u)為外函數.

　　3、求函數y=f(x)的反函數的一般步驟：

　　(1)確定原函數的值域，也就是反函數的定義域;

　　(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

　　(3)將x，y對換，得反函數的習慣表達式y=f-1(x)，并注明定義域.

　　注意①：對于分段函數的反函數，先分別求出在各段上的反函數，然后再合并到一起.

　�、谑煜さ膽�用，求f-1(x0)的值，合理利用這個結論，可以避免求反函數的過程，從而簡化運算.

　　【(二)、函數的解析式與定義域】

　　1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫出函數的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數的定義域.求函數的定義域一般有三種類型：

　　(1)有時一個函數來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮;

　　(2)已知一個函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如：

　　①分式的分母不得為零;

　　②偶次方根的被開方數不小于零;

　�、蹖�數函數的真數必須大于零;

　�、苤笖岛瘮岛蛯�數函數的底數必須大于零且不等于1;

　�、萑�角函數中的正切函數y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函數y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.

　　應注意，一個函數的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集).

　　(3)已知一個函數的定義域，求另一個函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可.

　　已知f(x)的定義域是[a，b]，求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍，而已知f[g(x)]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f(x)的定義域，即g(x)的值域.

　　2、求函數的解析式一般有四種情況

　　(1)根據某實際問題需建立一種函數關系時，必須引入合適的變量，根據數學的有關知識尋求函數的解析式.

　　(2)有時題設給出函數特征，求函數的解析式，可采用待定系數法.比如函數是一次函數，可設f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b為待定系數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可.

　　(3)若題設給出復合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法求函數f(x)的表達式，這時必須求出g(x)的值域，這相當于求函數的定義域.

　　(4)若已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還出現其他未知量(如f(-x)，等)，必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表達式.

　　【(三)、函數的值域與最值】

　　1、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：

　　(1)直接法：亦稱觀察法，對于結構較為簡單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域.

　　(2)換元法：運用代數式或三角換元將所給的復雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式里一次式時用代數換元，當根式里是二次式時，用三角換元.

　　(3)反函數法：利用函數f(x)與其反函數f-1(x)的定義域和值域間的關系，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如(a≠0)的函數值域可采用此法求得.

　　(4)配方法：對于二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法.

　　(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.

　　(6)判別式法：把y=f(x)變形為關于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式.

　　(7)利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性，可采用單調性法求出函數的`值域.

　　(8)數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域.

　　2、求函數的最值與值域的區別和聯系

　　求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數的值域中存在一個最小(大)數，這個數就是函數的最小(大)值.因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.

　　如函數的值域是(0，16]，值是16，無最小值.再如函數的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數無值和最小值，只有在改變函數定義域后，如x>0時，函數的最小值為2.可見定義域對函數的值域或最值的影響.

　　3、函數的最值在實際問題中的應用

　　函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.

　　【(四)、函數的奇偶性】

　　1、函數的奇偶性的定義：對于函數f(x)，如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數f(x)就叫做奇函數(或偶函數).

　　正確理解奇函數和偶函數的定義，要注意兩點：(1)定義域在數軸上關于原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數定義域上的整體性質).

　　2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據。為了便于判斷函數的奇偶性，有時需要將函數化簡或應用定義的等價形式：

　　注意如下結論的運用：

　　(1)不論f(x)是奇函數還是偶函數，f(|x|)總是偶函數;

　　(2)f(x)、g(x)分別是定義域D1、D2上的奇函數，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函數，f(x)·g(x)是偶函數，類似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

　　(3)奇偶函數的復合函數的奇偶性通常是偶函數;

　　(4)奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數。

　　3、有關奇偶性的幾個性質及結論

　　(1)一個函數為奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱;一個函數為偶函數的充要條件是它的圖象關于y軸對稱.

　　(2)如要函數的定義域關于原點對稱且函數值恒為零，那么它既是奇函數又是偶函數.

　　(3)若奇函數f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立.

　　(4)若f(x)是具有奇偶性的區間單調函數，則奇(偶)函數在正負對稱區間上的單調性是相同(反)的。

　　(5)若f(x)的定義域關于原點對稱，則F(x)=f(x)+f(-x)是偶函數，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函數.

　　(6)奇偶性的推廣

　　函數y=f(x)對定義域內的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱，即y=f(a+x)為偶函數.函數y=f(x)對定義域內的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+x)為奇函數。

　　【(五)、函數的單調性】

　　1、單調函數

　　對于函數f(x)定義在某區間[a，b]上任意兩點x1，x2，當x1>x2時，都有不等式f(x1)>(或<)f(x2)成立，稱f(x)在[a，b]上單調遞增(或遞減);增函數或減函數統稱為單調函數.

　　對于函數單調性的定義的理解，要注意以下三點：

　　(1)單調性是與“區間”緊密相關的概念.一個函數在不同的區間上可以有不同的單調性.

　　(2)單調性是函數在某一區間上的“整體”性質，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替.

　　(3)單調區間是定義域的子集，討論單調性必須在定義域范圍內.

　　(4)注意定義的兩種等價形式：

　　設x1、x2∈[a，b]，那么：

　�、僭赱a、b]上是增函數;

　　在[a、b]上是減函數.

　　②在[a、b]上是增函數.

　　在[a、b]上是減函數.

　　需要指出的是：①的幾何意義是：增(減)函數圖象上任意兩點(x1，f(x1))、(x2，f(x2))連線的斜率都大于(或小于)零.

　　(5)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數，且(或x1>x2)，這說明單調性使得自變量間的不等關系和函數值之間的不等關系可以“正逆互推”.

　　5、復合函數y=f[g(x)]的單調性

　　若u=g(x)在區間[a，b]上的單調性，與y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的單調性相同，則復合函數y=f[g(x)]在[a，b]上單調遞增;否則，單調遞減.簡稱“同增、異減”.

　　在研究函數的單調性時，常需要先將函數化簡，轉化為討論一些熟知函數的單調性。因此，掌握并熟記一次函數、二次函數、指數函數、對數函數的單調性，將大大縮短我們的判斷過程.

　　6、證明函數的單調性的方法

　　(1)依定義進行證明.其步驟為：①任取x1、x2∈M且x1(或<)f(x2);③根據定義，得出結論.

　　(2)設函數y=f(x)在某區間內可導.

　　如果f′(x)>0，則f(x)為增函數;如果f′(x)<0，則f(x)為減函數.

　　【(六)、函數的圖象】

　　函數的圖象是函數的直觀體現，應加強對作圖、識圖、用圖能力的培養，培養用數形結合的思想方法解決問題的意識.

　　求作圖象的函數表達式

　　與f(x)的關系

　　由f(x)的圖象需經過的變換

　　y=f(x)±b(b>0)

　　沿y軸向平移b個單位

　　y=f(x±a)(a>0)

　　沿x軸向平移a個單位

　　y=-f(x)

　　作關于x軸的對稱圖形

　　y=f(|x|)

　　右不動、左右關于y軸對稱

　　y=|f(x)|

　　上不動、下沿x軸翻折

　　y=f-1(x)

　　作關于直線y=x的對稱圖形

　　y=f(ax)(a>0)

　　橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變

　　y=af(x)

　　縱坐標伸長到原來的|a|倍，橫坐標不變

　　y=f(-x)

　　作關于y軸對稱的圖形

　　【例】定義在實數集上的函數f(x)，對任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0.

　�、偾笞C：f(0)=1;

　　②求證：y=f(x)是偶函數;

　�、廴舸嬖诔�數c，使求證對任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;試問函數f(x)是不是周期函數，如果是，找出它的一個周期;如果不是，請說明理由.

　　思路分析：我們把沒有給出解析式的函數稱之為抽象函數，解決這類問題一般采用賦值法.

　　解答：①令x=y=0，則有2f(0)=2f2(0)，因為f(0)≠0，所以f(0)=1.

　�、诹顇=0，則有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，這說明f(x)為偶函數.

　�、鄯謩e用(c>0)替換x、y，有f(x+c)+f(x)=

　　所以，所以f(x+c)=-f(x).

　　兩邊應用中的結論，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)，

　　所以f(x)是周期函數，2c就是它的一個周期.

　　高一數學函數的知識點總結 5

　　知識點總結

　　本節知識包括函數的單調性、函數的奇偶性、函數的周期性、函數的最值、函數的對稱性和函數的圖象等知識點。函數的單調性、函數的奇偶性、函數的周期性、函數的最值、函數的對稱性是學習函數的圖象的基礎，函數的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的幾個知識點，函數的`圖象就迎刃而解了。

　　一、函數的單調性

　　1、函數單調性的定義

　　2、函數單調性的判斷和證明：(1)定義法； (2)復合函數分析法； (3)導數證明法； (4)圖象法。

　　二、函數的奇偶性和周期性

　　1、函數的奇偶性和周期性的定義

　　2、函數的奇偶性的判定和證明方法

　　3、函數的周期性的判定方法

　　三、函數的圖象

　　1、函數圖象的作法： (1)描點法 (2)圖象變換法

　　2、圖象變換包括圖象：平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換。

　　常見考法

　　本節是段考和高考必不可少的考查內容，是段考和高考考查的重點和難點。選擇題、填空題和解答題都有，并且題目難度較大。在解答題中，它可以和高中數學的每一章聯合考查，多屬于拔高題。多考查函數的單調性、最值和圖象等。

　　誤區提醒

　　1、求函數的單調區間，必須先求函數的定義域，即遵循“函數問題定義域優先的原則”。

　　2、單調區間必須用區間來表示，不能用集合或不等式，單調區間一般寫成開區間，不必考慮端點問題。

　　3、在多個單調區間之間不能用“或”和“ ”連接，只能用逗號隔開。

　　4、判斷函數的奇偶性，首先必須考慮函數的定義域，如果函數的定義域不關于原點對稱，則函數一定是非奇非偶函數。

　　5、作函數的圖象，一般是首先化簡解析式，然后確定用描點法或圖象變換法作函數的圖象。

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