高中求最值的方法總結
三角函數的最值或相關量的取值范圍的確定始終是三角函數中的熱點問題之一。以下是小編整理的高中求最值的方法總結,歡迎大家前來查閱。
高中求最值的方法總結 篇1
方法一：利用單調性求最值
學習導數以后，為討論函數的性質開發了前所未有的前景，這不只局限于基本初等函數，凡是由幾個或多個基本初等函數加減乘除而得到的新函數都可以用導數作為工具討論函數單調性，這需要熟練掌握求導公式及求導法則，以及函數單調性與導函數符號之間的關系，還有利用導數如何求得函數的極值與最值。
例1 已知函數，當x∈[-2，2]時，函數f(x)的圖象總在直線y=a-e2的上方，求實數a的取值范圍。
分析：此題屬于恒成立問題，恒成立問題大都轉化為最值問題。
解：原問題等價于f(x)>a-e2恒成立，即x2+ex-xex>a-e2在[-2，2]上恒成立，即x2+ex-xex+e2>a在[-2，2]上恒成立。
令g(x)=x2+ex-xex+e2>a-e2，x∈[-2，2]，原問題等價于a 下面利用導數討論g(x)的最小值，求導可得g'(x)=x(1-ex)。
當x∈[-2，0]時，g'(x)≤0，從而g(x)在[-2，0]上單調遞減;
當x∈(0，2]時，g'(x)<0可知g(x)在(0，2]上也單調遞減。
所以g(x)在[-2，2]上單調遞減，從而g(x)min=g(2)=2即a∈(-∞，2)
評注：本題是求參數的取值范圍問題，利用等價轉化的思想可化為不等式恒成立問題，進而化為最值問題，再借助于導數討論函數的單調性求出的最值。其實高中階段接觸到的最值問題大都可以運用單調性法求得最值。
方法二：利用不等式求最值
掌握和靈活運用，│a│+│b│≥│a±b│≥││a│-│b││這一類型的基本不等式，在求一些函數最值問題時通常十分便捷，在解題時務必注意考慮利用不等式求最值的條件限制 。
例2 若x∈R，且0 分析：本題可以運用單調性法求最值，但是較麻煩，下面介紹一種新的方法。
解：。
由0 則，當且僅當，即時取等號。
故當時，取得最小值9。
例3 求使不等式│x-4│+│x-3│ 分析：此題若用討論法，可以求解，但過程較繁;用絕對值不等式的性質求解卻十分方便。
解：令f(x)=│x-4│+│x-3│原不等式有解，只需a>f(x)min，而f(x)=│x-4│+│x-3│≥│(x-4)-(x-3)│=1，當且僅當x∈[3，4]時，等號成立。
所以f(x)min=1，因此的a取值范圍是a∈[1，+∞]。
評注：例2表面上看本題不能使用基本不等式，但只要稍留心便能從兩個分母中發現“名堂”，一個分母是，另一個分母是，兩數之積正好為“1”，于是巧乘得“1”便可利用基本不等式。其實，即便不是“1”也可類似處理，只是式子前面要多乘一個系數。例4采用了絕對值三角不等式快捷的求出了參數的取值范圍。
方法三： 數形結合法
將一些抽象的解析式賦予幾何意義，然后通過圖形的屬性及數量關系進行“數”與“形”的信息轉換，把代數的問題等價性的用幾何的方法來求解，使之求解更簡單、快捷，也是解決最值問題的一種常用方法。
例4 已知實數x、y滿足等式x2+y2-6x-6y+12=0，求的最值。
分析：如果把等式看成圓的一般式，那么就有點(x，y)在圓(x-3)2+(y-3)2=6上，那么表示該點與原點連線的斜率.由于圓位于第一象限，若過原點作圓的兩切線OA、OB(A，B為切點)，則的最值分別是直線OA、OB的斜率。
解：設，即y=kx，∴，
整理為k2-6k+1=0。解得。
高中求最值的方法總結 篇2
（1）代數法。
代數法包括判別式法（主要是應用方程的思想來解決函數最值問題）配方法（解決二次函數可轉化為求二次函數的最值問題）不等式法（基本不等式是求最值問題的重要工具，靈活運用不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數最值問題）④換元法（利用題設條件，用換元的`方法消去函數中的一部分變量，將問題化歸為一元函數的最值，以促成問題順利解決，常用的換元法有代數換元法和三角換元法）。
①判別法：判別式法是等式與不等式聯系的重要橋梁，若能在解多元函數最值過程中巧妙地運用，就能給人一種簡單明快、耳目一新的感覺。而應用判別式的核心在于能否合理地構造二次方程或二次函數，還需注意是否能取等號。若函數可化成一個系數含有y的關于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0時，由于x，y為實數，必須有：△=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范圍確定函數最值。
②配方法：配方法多使用于二次函數中，通過變量代換，能變為關于t（x）的二次函數形式，函數可先配方成為f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根據二次函數的性質確定其最值（此類題的解法關鍵在于用“配方法”將二次函數一般式化為頂點式，同時要考慮頂點的橫坐標的值是否落在定義域內，若不在定義域內則需考慮函數的單調性）。
③不等式法：均值不等式求最值，必須符合“一正、二定、三相”這三個必要條件，因此當其中一些條件不滿足時應考慮通過恰當的恒等變形，使這些條件得以滿足“和定積最大，積定和最小”，特別是其等號成立的條件。（在滿足基本不等式的條件下，如果變量的和為定值，則積有最大值；變量的積為定值，則和有最小值。本例中計算的目的，是利用隱含在條件之中的和為定值，當然這里還需要利用系數的湊合才能達到目的，具有一定技巧）
④換元法：換元法又叫變量替換法，即把某個部分看成一個式子，并用一個字母代替，于是使原式變得簡化，使解題過程更簡捷（在利用三角換元法求解問題時，關鍵還是要在掌握好三角函數常用關系式的基礎上，結合所求解的函數式，慎重使用）。
（2）數形結合法。
數形結合法是數學中的一種重要的思想方法，即考慮函數的幾何意義，結合幾何背景，把代數問題轉化為幾何問題，解法往往顯得直觀、簡捷。通過數與形之間的對應和轉化來解題，有許多的優越性。將抽象的數學語言和直觀的圖形結合起來，借助幾何圖形活躍解題思路，使解題過程簡化。有時函數最值也借助數形結合方法來求解。
①解析式：解析法是觀察函數的解析式，結合函數相關的性質，求解函數最值的方法。
②函數性質法：函數性質法主要是討論利用已學函數的性質，如函數的單調性求函數最值等。
③構造復數法：構造復數法是在已經學習復數章節的基礎上，把所求結論與復數的相關知識聯系起來，充分利用復數的性質來進行求解。
④求導法（微分法）：導數是高中現行教材新增加的內容，求導法求函數最值是應用高等數學的知識解決初等問題，可以解決一類高次函數的最值問題。找閉區間[a，b]上連續的函數f（x）的最大（或最小）值時，將不可導點、穩定點及a，b處的函數值作比較，最大（或最小）者即為最大（或最小）值。
綜上可知，函數最值問題內涵豐富，解法靈活，沒有通用的方法和固定的模式，在解題時要因題而異；而且上述方法并非彼此孤立，而是相互聯系、相互滲透的，有時一個問題需要多法并舉，互為補充，有時一個題目又會有多種解法。因此，解題的關鍵在于認真分析和思考，因題而異地選擇恰當的解題方法，當一題有多種解法時，當然應該注意選擇最優解法。
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