主要內容
圓柱和圓錐的體積
學習目標
1、結合具體情境，讓學生探索并掌握圓柱體積的計算方法，并能運用計算公式正確計算圓柱體積或圓柱形容器的容積以及解決簡單的實際問題。
2、通過轉化的思想，在實驗的基礎上使學生理解和掌握圓錐體積公式，能運用公式正確地計算圓錐的體積以及解決簡單的實際問題。
3、通過圓柱、圓錐體積計算公式的推導、運用的過程，培養學生的觀察、操作能力和初步的空間觀念，培養學生應用所學知識解決實際問題的能力，并體驗數學問題的探索性和挑戰性，感受數學思考過程的條理性和數學結論的確定性，獲得成功的喜悅。
考點分析
1、圓柱所占空間的大小是圓柱的體積，圓柱的體積（容積） = 底面積 × 高，用含有字母的式子表示是：V = sh 或者V = лrh 。
2、圓錐所占空間的大小是圓錐的體積，圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的三分之一。即V = sh 或者V = лrh 。
典型例題
例1、（計算圓柱的體積）一個圓柱，底面周長9.42分米，高20厘米。求它的體積？
分析與解：求圓柱的體積，一般根據V = sh或者 V = лrh ，題中沒有給出底面積,又沒有給出底面半徑,所以要先求出底面半徑，同時題目中單位名稱不統一,要注意化單位,可以統一為分米,也可以統一為厘米。
20厘米 = 2分米
底面半徑：9.42 ÷ 3.14 ÷ 2 = 1.5（分米）
體積： 3.14 × 1.5× 2 = 14.13（立方分米）
答：它的體積是14.13立方分米。
點評：會使用圓柱體積計算公式是一個基本的要求。但知道圓柱體積計算公式的推導過程也非常重要。體積計算公式的推導過程和之前的圓柱的側面積計算公式推導過程一樣，都用了轉化的數學思想。
例2、（計算圓柱的容積）
一個圓柱形的糧囤，從里面量得底面周長是9.42米，高是2米，每立方米稻谷約重545千克，這個糧囤約裝稻谷多少千克？（得數保留整千克數）。
分析與解：先通過底面周長求出底面半徑，再求出底面積，進而求出容積。再去求能裝稻谷多少千克。
3.14 ×（9.42÷3.14÷2） × 2 × 545 = 7700.85 ≈ 7701（千克）
答：這個糧囤約裝稻谷7701千克。
點評：雖然求容積的方法和求體積的方法相同，但并不意味著體積就是容積。體積的數據是從外面量的，而容積的數據要從里面量。所以一個物體的體積都比其容積要大。
例3、（計算和圓柱的體積相關的實際問題）
有一個高為6.28分米的圓柱形機件，它的側面展開正好是一個正方形，求這個機件的體積？
分析與解：圓柱側面展開是個正方形，說明圓柱的底面周長和高相等。先通過底面周長求出底面積，再求體積。
3.14 ×（6.28÷3.14÷2） × 6.28 =19.7192（立方分米）
答：這個機件的體積是19.7192立方分米。
點評：圓柱側面展開之后得到一個長方形，長是圓柱的底面周長，寬是圓柱的高。在這兒展開之后是個正方形，就說明這個圓柱的底面周長和高相等。
例4、（綜合題）一種抽水機出水管的直徑是1分米，管口的水流速度是每秒2米，1分鐘能抽水多少立方米？
分析與解：每秒流出來的水的形狀，可以看成是一個底面直徑1分米，高2米的圓柱，這個圓柱的體積就是1秒種流出的水的體積，再乘60得出1分鐘抽水的體積。
1分米 = 0.1米
3.14 ×（0.1÷2） × 2 = 0.0157（立方米）
0.0157 × 60 =0.942（立方米）
答：1分鐘能抽水0.942立方米。
例5、（綜合題）把一根長4米的圓柱形鋼材截成兩段，表面積比原來增加31.4平方厘米。這根鋼材的體積是多少立方厘米？
分析與解：長4米是圓柱的高，要求圓柱的體積還要知道底面積。把圓柱截成兩段，增加了兩個底面的面積，即增加31.4平方厘米，可以求出圓柱的底面積。
4米 = 400厘米
31.4 ÷ 2 = 15.7（平方厘米）
15.7 × 400 = 6280（立方厘米）
答：這根鋼材的體積是6280立方厘米。
例6、（計算圓錐的體積）一個圓錐的底面半徑是6厘米，高是4厘米，求它的體積。
分析與解：已知圓錐的底面半徑、直徑、周長時，都要先求出底面積，然后根據V = sh來計算圓錐的體積。在計算時，千萬不要忘記“除以3”或“乘 ”。
× 3.14 ×6 × 4 = 150.72（立方厘米）
答：圓錐的體積是150.72立方厘米。
點評：求圓錐的體積不能忘了最后要除以3。如果不除以3，求的就是和這個圓錐等底等高的圓柱的體積，而不是圓錐的體積。計算時，可以先算 ×6 ×4，最后再乘3.14，可以使計算簡便，提高正確率。
例7、（解決和圓錐體積計算相關的實際問題）
一個圓錐形沙堆高1.5米，底面周長是18.84米，每立方米沙約重1.7噸，這堆沙約重多少噸？
分析與解：要求沙堆的質量，先要求沙堆的體積。沙堆是圓錐形，已知它的高和底面周長，根據圓錐體積的計算公式，先求圓錐的底面積。
底面半徑：18.84÷3.14÷2 = 3（米）
體積： × 3.14 ×3 × 1.5 = 14.13（立方米）
沙堆的質量：14.13 × 1.7 = 24.021（噸）
答：這堆沙約重24.021噸。
例8、判斷：（1）圓錐的體積是圓柱體積的 。………… （ ）
（2）如果一個圓錐的體積是一個圓柱體積的 ，那么它們等底等高。… （ ）
分析與解：（1）一個圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的 ，這一結論是將它的體積和它等底等高的圓柱進行比較得到的。
（2）等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的 ；但圓錐的體積是圓柱體積的 ，并不意味著它們等底等高。
例9、（綜合題）一個圓錐的底面半徑是3厘米，體積是75.36立方厘米，高是多少厘米？
分析與解：要求圓錐的高，根據圓錐體積計算的公式，可以先用體積乘3，求出和它等底等高的圓柱的體積，再除以底面積，即高 = 體積 × 3 ÷ 底面積，注意不能用圓錐的體積直接除以底面積。也可以根據圓錐體積計算的公式列方程解答。
方法1：
底面積：3.14 ×3 = 28.26（平方厘米）
高：75.36 × 3 ÷ 28.26 = 8（厘米）
方法2：設高是ⅹ厘米。
× 3.14 ×3 × ⅹ = 75.36
9.42ⅹ = 75.36 …… 先算左邊的 ×3.14×3
ⅹ = 8
答：高是8厘米。
點評：通過體積去求圓錐的高時要注意先用體積乘3，求出與這個圓錐等底等高的圓柱的體積，再除以底面積，求出高；也可以根據圓錐體積計算公式用方程解答。
例10、（綜合題）把一個棱長為12厘米的正方體木塊加工成一個最大的圓錐，圓錐的體積是多少立方厘米？削去的部分是多少立方厘米？
分析與解：將正方體木塊加工成一個最大的圓錐，圓錐的底面直徑和高都等于正方體的棱長。
正方體的體積：12 × 12 ×12 = 1728（立方厘米）
圓錐的體積： ×3.14 ×（12÷2） × 12 = 452.16（立方厘米）
削去部分的體積：1728 – 452.16 = 1275.84（立方厘米）
答：圓錐的體積是452.16立方厘米，削去的部分是1275.84立方厘米。
小學數學總復習專題講解及訓練（五）
模擬試題
一、圓柱體積
1、求下面各圓柱的體積。
（1）底面積0.6平方米，高0.5米
（2）底面半徑是3厘米，高是5厘米。
（3）底面直徑是8米，高是10米。
（4）底面周長是25.12分米，高是2分米。
2、有兩個底面積相等的圓柱，第一個圓柱的高是第二個圓柱的4/7。第一個圓柱的體積是24立方厘米，第二個圓柱的的體積比第一個圓柱多多少立方厘米？
3、在直徑0.8米的水管中，水流速度是每秒2米，那么1分鐘流過的水有多少立方米？
4、牙膏出口處直徑為5毫米，小紅每次刷牙都擠出1厘米長的牙膏。這支牙膏可用36次。該品牌牙膏推出的新包裝只是將出口處直徑改為6毫米，小紅還是按習慣每次擠出1厘米長的牙膏。這樣，這一支牙膏只能用多少次？
5、一根圓柱形鋼材，截下1.5米，量得它的橫截面的直徑是4厘米。如果每立方厘米鋼重7.8克，截下的這段鋼材重多少千克？（得數保留整千克數。）
6、把一個棱長6分米的正方體木塊，削成一個最大的一圓柱體，這個圓柱的體積是多少立方分米？
7、右圖是一個圓柱體，如果把它的高截短3厘米，它的表面積減少94.2平方厘米。這個圓柱體積減少多少立方厘米？
二、圓錐體積
1、選擇題。
（1）一個圓錐體的體積是a立方米，和它等底等高的圓柱體體積是( )
① a立方米 ② 3a立方米 ③ 9立方米
（2）把一段圓鋼切削成一個最大的圓錐體，圓柱體體積是6立方米，圓錐體體積是( )立方米
① 6立方米 ② 3立方米 ③ 2立方米
2、判斷對錯。
（1）圓柱的體積相當于圓錐體積的3倍 ………（ ）
（2）一個圓柱體木料，把它加工成最大的圓錐體，削去的部分的體積和圓錐的體積比是2 ：1 ………（ ）
（3）一個圓柱和圓錐等底等高，體積相差21立方厘米，圓錐的體積是7立方厘米
………（ ）
3、填空
（1）一個圓柱體積是18立方厘米，與它等底等高的圓錐的體積是（ ）立方厘米。
（2）一個圓錐的體積是18立方厘米，與它等底等高的圓柱的體積是（）立方厘米。
（3）一個圓柱與和它等底等高的圓錐的體積和是144立方厘米。圓柱的體積是（ ）立方厘米，圓錐的體積是（ ）立方厘米。
4、求下列圓錐體的體積。
（1）底面半徑4厘米，高6厘米。
（2）底面直徑6分米，高8厘米。
（3）底面周長31.4厘米，高12厘米。
5、一個圓錐形沙堆，高是1.5米，底面半徑是2米，每立方米沙重1.8噸。這堆沙約重多少噸？
6、一個近似圓錐形的麥堆，底面周長12.56米，高1.2米，如果每立方米小麥重750千克，這堆小麥重多少千克？
7、一個長方體容器，長5厘米，寬4厘米，高3厘米，裝滿水后將水全部倒入一個高6厘米的圓錐形的容器內剛好裝滿。這個圓錐形容器的底面積是多少平方厘米？
參考答案：
一、圓柱體積
1、求下面各圓柱的體積。
（1）底面積0.6平方米，高0.5米 0.6 × 0.5 = 0.3（立方米）
（2）底面半徑是3厘米，高是5厘米。 3.14 ×3 × 5 = 141.3（立方厘米）
（3）底面直徑是8米，高是10米。 3.14 ×（8÷2）×10 = 502.4（立方米）
（4）底面周長是25.12分米，高是2分米。
3.14 ×（25.12÷3.14÷2） × 2 = 100.48（立方分米）
2、有兩個底面積相等的圓柱，第一個圓柱的高是第二個圓柱的4/7。第一個圓柱的體積是24立方厘米，第二個圓柱的的體積比第一個圓柱多多少立方厘米？
底面積相等的兩個圓柱，第一個圓柱的高是第二個圓柱的4/7，第一個圓柱的體積也就是是第二個圓柱的4/7。
24 ÷ 4/7 – 24 = 18（立方厘米）
答：第二個圓柱的的體積比第一個圓柱多18立方厘米。
3、在直徑0.8米的水管中，水流速度是每秒2米，那么1分鐘流過的水有多少立方米？
3.14 ×（0.8÷2） × 2 × 60 = 60.288（立方米）
答：那么1分鐘流過的水有60.288立方米。
4、牙膏出口處直徑為5毫米，小紅每次刷牙都擠出1厘米長的牙膏。這支牙膏可用36次。該品牌牙膏推出的新包裝只是將出口處直徑改為6毫米，小紅還是按習慣每次擠出1厘米長的牙膏。這樣，這一支牙膏只能用多少次？
牙膏體積：1厘米 = 10毫米
3.14 ×（5÷2） × 10 × 36 = 7065（立方毫米）
7065 ÷ [3.14 ×（6÷2） × 10] = 25（次）
答：這樣，這一支牙膏只能用25次。
5、一根圓柱形鋼材，截下1.5米，量得它的橫截面的直徑是4厘米。如果每立方厘米鋼重7.8克，截下的這段鋼材重多少千克？（得數保留整千克數。）
1.5米 = 150厘米
3.14 ×（4÷2） × 150 × 7.8 = 14695.2（克）= 14.6952（千克）≈15（千克）
答：截下的這段鋼材重15千克。
6、把一個棱長6分米的正方體木塊，削成一個最大的一圓柱體，這個圓柱的體積是多少立方分米？
3.14 ×（6÷2） × 6 = 169.56（立方分米）
答：這個圓柱的體積是169.56立方分米。
7、右圖是一個圓柱體，如果把它的高截短3厘米，它的表面積減少94.2平方厘米。這個圓柱體積減少多少立方厘米？
底面周長： 94.2÷3 = 31.4厘米
3.14 ×（31.4÷3.14÷2） × 3 = 235.5（立方厘米）
答：這個圓柱體積減少235.5立方厘米。
二、圓錐體積
1、選擇題。
（1）一個圓錐體的體積是a立方米，和它等底等高的圓柱體體積是( ② )
① a立方米 ② 3a立方米 ③ 9立方米
（2）把一段圓鋼切削成一個最大的圓錐體，圓柱體體積是6立方米，圓錐體體積是( ③ )立方米
① 6立方米 ② 3立方米 ③ 2立方米
2、判斷對錯。
（1）圓柱的體積相當于圓錐體積的3倍 ………（ × ）
（2）一個圓柱體木料，把它加工成最大的圓錐體，削去的部分的體積和圓錐的體積比是2 ：1 ………（ √ ）
（3）一個圓柱和圓錐等底等高，體積相差21立方厘米，圓錐的體積是7立方厘米
………（ × ）
3、填空
（1）一個圓柱體積是18立方厘米，與它等底等高的圓錐的體積是（ 6 ）立方厘米。
（2）一個圓錐的體積是18立方厘米，與它等底等高的圓柱的體積是（54）立方厘米。
（3）一個圓柱與和它等底等高的圓錐的體積和是144立方厘米。圓柱的體積是（ 108 ）立方厘米，圓錐的體積是（ 36 ）立方厘米。
4、求下列圓錐體的體積。
（1）底面半徑4厘米，高6厘米。 ×3.14 ×4 ×6 = 100.48（立方厘米）
（2）底面直徑6分米，高8厘米。 ×3.14×（60÷2）×8 = 7536（立方厘米）
（3）底面周長31.4厘米，高12厘米。
×3.14×（31.4÷3.14÷2）×12 = 314（立方厘米）
5、一個圓錐形沙堆，高是1.5米，底面半徑是2米，每立方米沙重1.8噸。這堆沙約重多少噸？
×3.14 ×2 ×1.5×1.8 = 11.304（噸）
答：這堆沙約重11.304噸。
6、一個近似圓錐形的麥堆，底面周長12.56米，高1.2米，如果每立方米小麥重750千克，這堆小麥重多少千克？
×3.14×（12.56÷3.14÷2）×1.2 ×750 = 3768（千克）
答：這堆小麥重3768千克。
7、一個長方體容器，長5厘米，寬4厘米，高3厘米，裝滿水后將水全部倒入一個高6厘米的圓錐形的容器內剛好裝滿。這個圓錐形容器的底面積是多少平方厘米？
5 × 4 × 3 = 60（立方厘米）
60 × 3 ÷ 6 = 30（平方厘米）
答：這個圓錐形容器的底面積是30平方厘米