生活里的事情從發(fā)生到結(jié)束總是有過(guò)程的，事情發(fā)生的過(guò)程或是在數(shù)量的多少上發(fā)生變化，或是在方向、路線、時(shí)間等方面發(fā)生變化，或是在其他方面發(fā)生變化。研究這些事情里的數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)常有兩條線索： 一條是從事情的起始狀態(tài)，根據(jù)將要發(fā)生的變化，推斷結(jié)束時(shí)的狀態(tài)；另一條是從事情的結(jié)束狀態(tài)，聯(lián)系已經(jīng)發(fā)生的變化，追溯起始狀態(tài)。學(xué)生比較習(xí)慣用前一條線索分析數(shù)量關(guān)系和解決實(shí)際問(wèn)題，但是，有些問(wèn)題用后一種思路去解決是比較方便的。本單元教學(xué)逆推策略，通俗地講就是“倒過(guò)去想”，即從事情的結(jié)果倒過(guò)去想它在開(kāi)始的時(shí)候是怎樣的。

1 在簡(jiǎn)單的事情中初步體會(huì)逆推是一種策略。

例1用圖畫(huà)呈現(xiàn)了甲、乙兩杯果汁共400毫升，甲杯倒入乙杯40毫升，兩杯里的果汁同樣多。這是一件事情的開(kāi)始、變化、結(jié)果三個(gè)時(shí)段的主要狀況。甲杯里的部分果汁倒入乙杯后，兩杯果汁才同樣多，如果把甲杯倒入乙杯的那些果汁仍然倒回甲杯，就恢復(fù)了兩杯果汁的原狀。這是人們的經(jīng)驗(yàn)，也是學(xué)生能夠想到的辦法，教材用圖畫(huà)展示了這樣的思考和問(wèn)題的答案。

這道例題的教學(xué)重點(diǎn)在體驗(yàn)“逆推”是解決問(wèn)題的策略。為此，還安排了兩項(xiàng)活動(dòng)。一是在表格里先填寫(xiě)甲杯和乙杯現(xiàn)在各有果汁200毫升，再填寫(xiě)它們?cè)瓉?lái)有多少毫升果汁，通過(guò)填表反思“倒回去”的過(guò)程。利用加法或減法計(jì)算倒入和倒出的問(wèn)題，能進(jìn)一步理解“倒回去”的意思，體會(huì)它對(duì)解決問(wèn)題的作用。二是組織學(xué)生說(shuō)說(shuō)解決這個(gè)問(wèn)題的策略，先回顧例題是怎樣的實(shí)際問(wèn)題，它是怎樣解決的；再交流解決問(wèn)題的方法有什么特點(diǎn)，以及對(duì)這種方法的感受。這樣，就從解決問(wèn)題的過(guò)程中提煉了思想方法。

2 舉一反三，運(yùn)用逆推策略解決實(shí)際問(wèn)題。

例2中小明的郵票經(jīng)過(guò)兩次變化最后還剩52張，問(wèn)題是他原來(lái)有多少?gòu)堗]票。學(xué)生會(huì)感到，這題的事情雖然和例1不同，但都要從現(xiàn)在的數(shù)量追溯原來(lái)的數(shù)量。教材通過(guò)“你準(zhǔn)備用什么策略解決這個(gè)問(wèn)題”引導(dǎo)學(xué)生“倒過(guò)去想”，即如果跟小華要回30張郵票，那么小明就有52+30=82（張）；如果不收集24張郵票，那么小明只有82-24=58（張）。“倒過(guò)去想”需要整理事情從開(kāi)始到結(jié)束的變化過(guò)程，排出各次變化的次序。還要聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)，思考“倒過(guò)去”的方法。如送出的應(yīng)要回，收集的應(yīng)去掉。在倒過(guò)去想的時(shí)候，還要逆著事情變化的順序進(jìn)行，先把后發(fā)生的變化倒回去，再把先發(fā)生的變化倒回去，直至事情的原來(lái)情況。這些都落實(shí)在說(shuō)說(shuō)自己的想法和列式解答之中。教材給出的第二種方法沒(méi)有完全按照事情發(fā)生變化的次序一步步地逆推，而是先分析事情發(fā)展過(guò)程中的兩次變化對(duì)小明郵票張數(shù)造成的總的影響。由于今年收集的郵票比送給小軍的郵票少6張，所以現(xiàn)在的郵票應(yīng)該比原來(lái)少6張。然后逆推： 如果現(xiàn)在的郵票再多6張，就是原來(lái)郵票的張數(shù)。教學(xué)時(shí)要提倡第一種方法，因?yàn)檫@種方法比較清楚地體現(xiàn)了逆推的策略，思考和操作比較順暢，適宜多數(shù)學(xué)生應(yīng)用。根據(jù)求出的答案，順推過(guò)去，看看剩下的是52張嗎？一方面能檢驗(yàn)答案是否正確，另一方面是讓學(xué)生再次體驗(yàn)事情的變化是有次序的。順著變化一步一步地推，是從開(kāi)始推向結(jié)果；逆著變化一步一步地推，是從結(jié)果推向起始。無(wú)論順推還是逆推，有條理的思考是十分重要的。

本單元的例題只是提出現(xiàn)實(shí)的情境或問(wèn)題、引發(fā)解題思路，讓學(xué)生自己列式計(jì)算，在解題活動(dòng)中體驗(yàn)方法，并在練習(xí)十六里主動(dòng)運(yùn)用逆推策略。練習(xí)十六的習(xí)題有四個(gè)特點(diǎn)： 一是題材寬廣。有些聯(lián)系學(xué)生生活中的收集畫(huà)片、折紙鶴、買(mǎi)東西等活動(dòng)；有些聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過(guò)的方向、路線、確定位置以及同級(jí)混合運(yùn)算的知識(shí)；還有一天里的氣溫變化、銀行里存錢(qián)和支錢(qián)的事情和玩撲克牌游戲等。在各種現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中都應(yīng)用逆推的方法，有利于學(xué)生積累“倒過(guò)去想”的經(jīng)驗(yàn)，更好地體會(huì)逆推是解決問(wèn)題的策略。二是把事件發(fā)生變化的過(guò)程有條理地講清楚。有些用文字講述，有些用圖畫(huà)表達(dá)，還有表格、圖文結(jié)合和對(duì)話等呈現(xiàn)方式。學(xué)生容易整理事情有哪些變化，是怎樣變化的，以及變化的次序。不僅理解了題意，更為逆推創(chuàng)造了有利條件。三是各題的逆推步數(shù)一般是2~3步，只有少量需要4步逆推的題。如第3題，只要根據(jù)方向的變化逆推，即使多1步也不會(huì)有困難。四是解題的形式靈活多樣。有幾題需要列式解答，如第1、7、8、9題；有些可以在方格紙上畫(huà)一畫(huà)，如第3題；許多題只要說(shuō)一說(shuō)或在方框里填一填，如第2、4、5、6、10題。總之，習(xí)題的這些特點(diǎn)，都是為了學(xué)生能主動(dòng)地運(yùn)用逆推的思想方法去解決問(wèn)題，不斷積累經(jīng)驗(yàn)，逐步內(nèi)化體會(huì)，逐漸升華成策略。

逆

推是解決問(wèn)題的一種策略，它還需要其他解決問(wèn)題的策略相配合，尤其是四年級(jí)和五年級(jí)（上冊(cè)）教學(xué)的整理?xiàng)l件和問(wèn)題的策略，能使學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)事情的發(fā)展線索和各次變化的情況。整理信息的形式應(yīng)該是靈活多樣的，例2中第一種整理信息的方法是從左往右列出了事情從開(kāi)始到結(jié)果的一次次變化，從右往左是解決問(wèn)題逆推時(shí)的一步步思考，這種整理形式在本單元可能更適用。當(dāng)然，有些題也可以用其他形式整理，如“練一練”和練習(xí)十六第1題可以畫(huà)圖整理，第7題可以直接看著三幅圖畫(huà)逆推。

另外，練習(xí)十六第9題表格右上方的結(jié)單余額280元是4月份在銀行里的結(jié)單余額，它是3月份的結(jié)單余額依次支付電話費(fèi)52元、收存款300元、支付水費(fèi)28元、支付電費(fèi)86元后的結(jié)余款。因?yàn)?月份三筆支出的合計(jì)數(shù)比存款數(shù)少，所以4月份的結(jié)單余額比3月份多。3月份的結(jié)單余額可以通過(guò)計(jì)算280+86+28-300+52得出。