山東省寧陽縣教科研中心 柏義偉
一、知識回顧及知識鏈接：
第一單元：采訪果蔬會--兩、三位數除以一位數（二）
三位數除以一位數、商是兩位數的筆算。
三位數除以一位數、商中間與末尾有零的筆算。
連除、加除（除加）應用題。
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三年級上冊：第四單元：風箏廠見聞
--兩、三位數除以一位數（一）
整十數除以一位數的口算，兩、三位數除以一位數的估算。
兩、三位數除以一位數的筆算除法。
兩、三位數除以一位數的驗算。
兩、三位數除以一位數除法計算在解決問題過程中的綜合運用。
第二單元：體操中的美--對稱圖形
認識對稱圖形，對稱軸。
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二年級下冊：第五單元：熱鬧的民俗節--對稱現象。
第三單元：美麗的街景--兩位數乘兩位數
整十數乘整十數的口算，兩位數乘整十數、兩位數乘兩位數的筆算（不進位）。
兩位數乘兩位數的筆算（一次進位），用連乘、乘除的方法解決問題。
繼續學習兩位數乘兩位數的筆算（連續進位）及用乘除的方法解決問題，學習用倍比的方法解決問題。
綜合應用兩位數乘兩位數的知識解決問題。
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三年級上冊：第二單元：富饒的大海
--兩、三位數乘一位數
整十、整百數乘一位數的口算，估算及兩、三位數乘一位數不進位筆算
兩、三位數乘一位數一次進位的筆算乘法
兩、三位數乘一位數連續進位的筆算乘法
學習一個因數中間、末尾有0的筆算乘法
在解決問題的過程中學習連乘、乘加及有括號的簡單的四則混合運算
第四單元：我家買新房子啦--長方形和正方形的面積
面積與面積單位；
長方形與正方形的面積；
解決問題；
地積單位（公頃與平方千米）。
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三年級上冊：第五單元：美化校園
--圖形的周長
周長的意義。
長方形、正方形周長的計算。
第五單元：走進天文館--年、月、日
二十四時計時法；
年月日知識的學習。
第六單元: 家居中的學問--小數的初步認識
認識小數，小數的讀法，小數的大小比較。
學習一位小數加減法計算。
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三年級上冊：第六單元：奇妙的變化
--分數的初步認識
初步認識分數，認識分數各部分的名稱；學習同分母分數大小的比較，同分子分數的大小比較。
學習同分母分數加減法。
第七單元：小教練--統計
學習怎樣求平均數。
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一年級上冊：第八單元：我又換牙了--統計，初步學習在條形統計圖中用符號如√ 、○等來統計。
一年級下冊：第八單元：我們的鞋碼--統計，繼續學習在條形統計圖用符號如√ 、○等來統計，同時在這個基礎之上，引入了畫“正”字統計數量。
二年級上冊：第八單元：親近大海--統計與可能性，初步學習進行分類統計，既按一定的標準進行統計，統計過程使用以一定標準來分類的統計表（當然也可以用條形統計圖來統計）。
二年級下冊：第十單元：我鍛煉，我健康--統計，初步學習以小組統計為基礎分類統計。
三年級上冊：第七單元：摸名片--統計與可能性，初步學習以統計為基礎對不確定現象也既可能性的大小進行判定。
二、課時分配建議：
第一課時：復習兩、三位數除以一位數（二）；
第二課時：復習兩位數乘兩位數；
第三課時：乘除法綜合復習；
第四課時：復習對稱；
第五課時：復習長方形、正方形的面積；
第六課時：復習年月、日；
第七課時：復習小數的初步認識；
第八課時：復習統計。
三、教學建議：
1、復習課的功能：
（1）查缺補漏。
（2）促進知識系統化，從整體上把握知識結構。
（3）溫故而知新。
（4）提高解決問題能力。
其中，促進知識系統化，從整體上把握知識結構是最為重要的功能，在復習課中占有非常重要的地位。
2、課時教學知識系統化目標，解決問題目標：
第一課時：復習兩、三位數除以一位數（二）--除數是一位數的除法法則；
第二課時：復習兩位數乘兩位數--兩位數乘兩位數的計算法則；
第三課時：兩、三位數除以一位數（二）、兩位數乘兩位數綜合復習--連除、加除（除加）應用題，連乘、乘加及有括號的簡單的四則混合運算。
第四課時：復習對稱--對稱現象、對稱圖形、對稱軸。
第五課時：復習長方形、正方形的面積--面積單位、長度單位的比較，面積與周長的比較；
第六課時：復習年、月、日--24時計時法，年、月、日知識的梳理；
第七課時：復習小數的初步認識--小數知識的梳理；
第八課時：復習小教練--統計，統計與平均數的整合。
3、教學設計的指導思想：建構主義理論。
以除法為例，至此，兩、三位數除以一位數的計算知識已經全部學完。如下所示：
其中包括：兩位數除以一位數、三位數除以一位數，有口算、筆算，有商是一位數、兩位數、三位數的，有商中間有0、末尾有0的。這么多的計算類型，我們應該如果幫助學生進行梳理呢？在傳統教學中，我們大部分教師通常有兩種做法：一是按照類型來處理；二是通過一定量的計算來使學生掌握計算的技能。顯然這些做法都是正確的。但同時也有一些缺陷在里面。一是教師在處理這些類型的題目時往往只把眼光定位在本冊的范圍內，本冊學習的是“商中間、末尾有0的筆算除法”，那么在復習時就只去復習這些類型的題目。二是按類型計算后的對比、梳理與升華不夠。很多教師只注意到了去練習、去訂正，但練習以后如何幫助學生去梳理往往沒去過多的考慮。這種缺陷的直接后果：一是學生沒有真正建立起除法計算的知識結構，因為教師在引導學生計算時，只進行了本冊學習內容的練習與鞏固，而與此有聯系的相關知識沒去練習，沒去復習；二是學生沒有真正掌握計算的知識技能。所謂計算技能，它有兩方面的含義，一是計算的速度，二是計算的準確性，教師在引導學生復習的過程中只有全面地去復習，全面地去練習，才能保證計算既有速度，又有準確性。因為只有在全面掌握知識的前提下，才能使知識的掌握不會有漏洞，才不至于碰到某些類型的題目時感到生疏，甚至感到不知所措。
這樣來分析之后，我們大家可能會明白這樣一個道理，當我們在學習某一個知識的時候，要把這個知識與其相鏈接的其它知識進行有效地聯系，這種有效聯系的有效標志是能夠建立起圍繞這一知識的結構體系，這就是通常所說的“建構”。
明確了這個道理之后，那么我們在“兩、三位數除以一位數”復習中到底應該復習哪些內容知識呢？其一，乘法口訣作為引領乘除法計算的最基礎的知識，它不僅在100以內數（既表內乘除法計算）的乘除法計算中起作用，而且在萬以內數的乘除法計算（口算）中仍然起著作用，既隨著數的認識與計算領域的不斷擴展，乘法口訣仍然是引領口算的最基礎的知識，如“240÷6”，它既可以按照豎式計算的方法來做，同時又可以按照口訣來想--四（個十）六二十四（個十），并且按照口訣來計算是此類題目上升到計算技能的一種高境界，也是教材中首先學習的內容（教材中是先學習用口訣進行口算）。其二，除數是一位數的除法法則是教學中需要升華的。這么多的計算類型題目放在一起，如何梳理？用計算法則。法則是人們在長期認識數學的過程中的總結，是人們進行計算的精華之所在，它對于提高人們的計算速度、掌握計算的技能起著非常重要的作用。
還有一個問題，我們該用什么樣的教學方法幫助學生梳理知識呢？一般常用的方法有：對比辨析、抽象概括、歸納、反思（“判斷對錯”其實就是一種反思的數學學習方法，判斷同時也是數學學習的方法，在此之上的反思是一種高層次的數學學習方法）。
4、關于估算：把估算與計算整合為一個整體，既在計算之前先進行估算的練習與訓練。更為有效的方法是在此之前引導學生想到“估算”，這比老師直接告訴學生進行“估算一下每個題的得數是多少”更有價值。這樣設計有什么優勢呢？有利于進行估算意識的培養。當然我們不反對把乘除法估算單獨設置進行，這對學生估算技能的提高是有幫助的，但同時不要忘記與計算的整合。所以在教學時我們要注意兩個方面結合進行，做到技能訓練與意識的培養同步進行。在一定意義上來說，意識是更為高級的智力活動，但對于大部分學生來講，技能訓練必不可少，同時也是非常重要的。因而對于所有學生來講，技能訓練與意識培養同步進行是現實階段教學的重要策略。
四、課時教學建議：
第一課時：復習兩、三位數除以一位數（二）；
層次一：整十數除以一位數，如：
60÷2， 80÷4， 90÷3， 80÷2
240÷6，250÷5，360÷9，480÷6
梳理：用乘法口訣進行計算方法的梳理。
有一個問題需要特別強調：有的同學可能會用這樣的方法來思考：如480÷6，先用48÷6得8，然后在8的后面添上一個0。這樣的思考是正確的，這是學生在思維上有了一個豎式計算的模型，是豎式計算熟練以后的簡化思維過程的縮寫。其實這種方法與口訣思維是一致的，在用以上這個簡化了的豎式來思考時，其實也必須用乘法口訣來想--四（個十）六二十四（個十）。教師的作用，就是幫助學生把這兩方面融合起來，這是教學中非常有價值的，做到了這一步，就能幫助學生建立起口訣與豎式的聯系，就能使乘除法成為一個有效的整體。
層次二：兩、三位數除以一位數的筆算，如：
64÷2， 72÷8， 897÷8，655÷5
184÷8，719÷9，129÷3，252÷3
梳理：除數是一位數的除法法則：
1、從被除數的高位除起，每次用除數先試除被除數的前一位數，如果它比除數小，再試除前兩位數；
2、除到被除數的哪一位，就把商寫在那一位上面；
3、每求出一位商，余下的數必須比除數小。
如何幫助幫助進行梳理？如果學生基礎比較好，可以在嘗試計算、匯報交流與訂正的基礎上，嘗試讓學生進行計算方法的梳理，學生可能會把計算法則說的支離破碎，這不要緊，這是學生學習知識的必然過程。以此為基礎，教師進行有效地引導，可以按照法則的順序進行引導梳理。引導梳理的方法是進行對比辨析：這兩組題目在計算時有哪些相同的地方？有哪些不同的地方？
層次三：三位數除以一位數，商中間、末尾有零的除法。如：
428÷4，204÷2，721÷7，627÷3
996÷9，420÷3，124÷6，754÷5
梳理：口訣的補充--在求出商的最高位數以后，除到被除數的哪一位不夠商1，就對著那一位商0。
此環節是對上面練習的補充，同時此類題目也是除法中容易錯的題目，有必要進行強化訓練。
層次四：判斷題--對比辨析，進行難點的強化練習。
1、184÷8=203（請用豎式表示）……
2、余數比除數大
3、中間末尾有0而把0漏掉
層次五：處理“回顧整理”中的“照相機”題目。
要注意的問題是：
一是可以利用人民幣進行演示，通過人民幣的演示，可以使學生明白猜想與估算的道理。
二是以解決問題的思想來處理題目，不能僅僅認為是一個簡單的計算題，僅僅從計算的角度進行總結。
三是把握教學的層次性要求，既按照“猜想與估算--探究與驗證--總結與梳理”的程序進行教學。
猜想與估算--在引導學生表述猜想過程的基礎上，把猜想的過程用算式進行抽象。有三種猜想與估算的方法：1、198≈200，200×3=600，600＜605，夠了；2、605≈600，600÷3=200，200＞198，夠了；3、605≈600，198≈200，600÷200=3＝（或600里面有3個200），夠了。當然教學中沒有必要把這幾種方法都引出來。
探究與驗證--有兩種途徑：1、605÷3=201……2，201＞198，所以買3架照相機605元錢夠了；2、198×3=594，594＜605，所以買3架照相機605元錢夠了。
總結與梳理--既對以上猜想與驗證的方法進行梳理，要對整個解決問題的程序進行梳理，不能僅僅從一個計算題的角度進行總結與梳理，要從解決問題的角度進行總結。
第二課時：復習兩位數乘兩位數；
層次一：整十數乘整十數的口算及整十、整百數乘一位數的口算。如：
20×30，40×20，30×60，90×30
40×5， 90×6， 7×50， 9×90
梳理：用乘法口訣進行計算方法的總結與梳理。同時可以幫助學生尋找更簡單的計算思維過程：如90×30，先用乘法口訣想“三九二十七”，然后在27的末尾添上兩個0。
層次二：兩位數乘整十數及一個因數末尾有0的筆算乘法。如：
23×20，42×20，13×30，12×40
160×4，250×4，130×7，450×3
梳理：按照一位數乘法的計算方法進行計算，然后在積的末尾添上0，如：130×7，先算13×7=91，然后在91的末尾添上0。
層次三：兩位數乘兩位數的筆算（不進位）、兩位數乘兩位數的筆算（一次進位）、繼續學習兩位數乘兩位數的筆算（連續進位）。
23×11，42×12，21×43，82×11
34×28，46×13，18×14，62×18
28×39，29×19，38×91，29×89
梳理：兩位數乘兩位數的計算法則：
1、先用其中一個因數個位上的數去乘另一個因數，得數的末位和這個因數的個位對齊；
2、再用這個因數十位上的數去乘另一個因數，得數的末位和這個因數的十位對齊；
3、最后把兩次乘得的積相加。
梳理的方法：對比辨析，找到“變中的不變”，“變中的不變”既上述所說的計算口訣。
對比辨析，找到“不變中的變”，其中的“不變”既計算方法，也既計算法則是不變的，其中的“變”既是在這種不變的前提下每個題目（或每類題目）在計算時的特殊性，這個特殊性既是上述所說的“一次進位”、“兩次進位”、“連續進位”，這個是必須是在教學中進行提練與升華的。我們可以想像一下，當學生課上經歷了這個探究的過程后，當好多題目放在一起進行計算感到難以區別時，就可以把在課上探究的這個經歷遷移過來，能夠在有限的時間內想起該如何突破計算的難點，如何進行計算。這也就是說，當我們指導學生計算時（當然其它的學習同樣也是這樣），一定不要忘記及時地進行升華。有時可能看起來耽誤時間，可能會少練幾個題，但它卻能起到“事半功倍”的學習效果。
層次四：判斷與改錯題。
層次五：處理“回顧整理”中的“膠卷”問題。
要注意的問題是：
要注意教學的層次性要求，同樣也要按照“猜想與估算--探究與驗證--總結與梳理”的程序進行教學。
猜想與估算--所謂猜想，就是引導學生用估算的方法求出問題大致的得數范圍。所以猜想往往是與估算聯結在一起的，猜想的過程常常就是估算的過程，因而當學生表述完猜想得數之后就要及時地引導學生用估算的方法進行抽象。
方法一：27≈30，24×30=720，所以24×27≈720；
方法二：24≈20，20×27=540，所以24×27≈540；
方法三：以上兩種方法的綜合，既：24≈20，27≈30， 20×30=600，所以24×27≈600（在600元左右）；
方法四：同樣也是以上兩種方法的綜合，引導學生通過對兩種方法的辨析，得到算式的得數范圍為：540＜24×27＞720。方法一與方法二可以看作是每個人的方法，把兩個人的方法放在一起來考慮，就可能找到算式的大致的得數范圍。
探究與驗證--既引導學生算出24×27的精確得數648，并與估算得數相比較。比較的過程其實就是把整個的學習過程放在一個大的背景之下來進行，使之成為一個有機的整體，把估算與精確計算二者互相映襯，互相補充。
總結與梳理--用解決問題的方法進行梳理，我們是在解決一個數學問題，而非在做計算題，解決問題就要按照“猜想（估算）--驗證--反思”的程序來進行。
第三課時：乘除法綜合復習；
復習什么：
連除、加除（除加）應用題（三年級下冊）。
用連乘、乘除的方法解決問題（三年級下冊）。
用乘除的方法解決問題，學習用倍比的方法解決問題（三年級下冊）。
用連乘、乘加及有括號的算式解決問題（三年級上冊）。[三年級上冊在信息窗新課學習時的要求是：在解決問題的過程中學習連乘、乘加及有括號的簡單的四則混合運算，當時的目標有兩個：一是學習混合運算，二是學習解決問題，其中解決問題是基礎（解決問題的目標僅僅停留在理解的層面上，而非掌握），混合運算的順序的理解與掌握是重點，既運算順序不僅要理解，而且要掌握，使之成為技能。現在的復習階段，其目標也是兩個，也是復習混合運算與解決問題，但在目標的把握上正好與之相反，既混合運算的順序的理解與掌握是基礎，在這個基礎之上復習如何解決問題。事實上也是這樣，到了總復習階段，如果兩步運算的順序學生還沒理解與掌握，那就說明在新課學習時教學有問題。其中解決問題的教學是重點。]
目標的把握：一是對混合運算的順序進行總結與梳理；二是對解決問題進行總結與梳理。
山東版教材的編寫思路之一是“把解決問題與數學基礎知識和基本技能的學習融為一個過程”，并且“使學生在解決一連串現實的、有挑戰性問題的過程中，融入數學課程”，教材思路的這一變化，直接影響著教學的變化，教學過程就要與教材的變化相吻合。事實上，我們的這一教學思路，就是一個富有挑戰性的教學思路，并且是與傳統教學不同的思路。回想一下傳統教學，我們在對混合運算復習的時候，常常是通過計算來進行。當然我們不反對通過一定量的強化練習進行技能的訓練，但是教學的大部分時間不應該放在大量的計算上，要把計算與解決問題融為一個過程。所以在進行總結與梳理時要把握兩點：一是對解決問題的思路與過程進行總結與梳理；二是以此為基礎對兩步計算的運算順序進行總結與梳理。
關于分步與綜合算式目標的把握：認真研究教材我們會發現，在以解決問題為基礎進行混合運算學習的過程，是一個以分步為基礎進而用混合運算算式逐步抽象的過程，二年級以前不要求學生用綜合算式進行解決問題，從三年級起就要逐漸地引導學生從分步過渡到綜合算式。也就是說，二年級時，個別優秀學生可能會用綜合算式進行解答，但不作為全體學生的共同要求；從三年級起，綜合算式就要作為對全體學生的共同要求，既大部分學生就要逐漸地學會用綜合算式進行解答，少部分學生允許用分步進行解答，既在共同要求之上照顧到一部分后進學生的特殊需要。
這里還有一個問題要說明：連乘、連除在目前階段是作為兩步來處理的，到了高年級以后就要作為一步來處理了。課程標準對于應用題步數的要求是“不超過三步”，到高年級以后較復雜的歸一應用題的列式思路是“先連除以后再連乘”，其中的連除是作為一步來處理的，因為經過長時間的學習之后，連除就作為一個思維過程來看待，不看作兩步。
怎樣復習（基本思路）：層次性、程序性與系統性要求。
層次性--三個層次：
連除、連乘、乘除的方法解決問題--不改變運算順序；
乘加、加除（除加）應用題--改變運算順序；
有括號的算式解決問題--改變運算順序中的更為特殊的應用題。
程序性--既每個層次教學按照“情景與問題--嘗試與探究--總結與梳理”的程序進行引導。
系統性--當三類問題分別處理完以后，要對三類問題進行總體的反思與梳理，要把握的目標就是“從思路上進行梳理”，既幫助學生從“看、想、算”上進行總結。看：看算式中有哪些運算符號；想：思考先算什么，再算什么；算：在確定運算順序的基礎上進行計算。從中我們不難發現，這與傳統教學中的計算思路的梳理是相吻合的，這就是通常所說的“繼承”，當然在這個繼承之上我們還不要忘了“發展”，所謂發展就是對學生學習進行有指導的探究，在探究的基礎上進行總結與梳理，這就是說在傳統教學的基礎上又多了一個深入探究的基礎，有了這個基礎，總結與梳理就成為一個自然而然、水到渠成的過程。
教師創造性勞動體現：通過上面的分析我們不難發現，教師的創造性勞動體現在兩個方面，一是課堂教學之前的創造性，我們深入地分析教材，分析學生，分析教法，這是課堂創造性的基礎；二是課堂教學的創造性，其突出表現是如何設計“情景題”，只有按類別設置好了情景題目，才好便于課上有效地幫助學生進行總結與梳理。