例 4 在圖 8 中的 A，B，C，D 處填上適當的數，使其成為一個三階幻方。

分析與解 從第一行和對角線可得，

A＋7＋D=A＋10＋6

7＋D=16

D=9

這樣幻和=9＋15＋6=30

從第一行中可求出

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A=30-（7＋9）=14；

從第二行中可求出 B=30-（10＋15）=5；

從第三行中可求出 C=30-（11+6）=13。

例 5 在 3×3 的陣列中，第一行第三列的位置上填 5，第二行第一列的位置上填 6，如

圖 9。請你在其他方格中填上適當的數，使方陣橫、縱、斜三個方向的三個數之和均

為 36。

分析與解 為了敘述方便，我們將其余格內的數用字母表示，如圖 10。

因為幻和為 36，所以可求出中心數為：

36÷3=12，即 C=12。

從第二行中可求出 D=36-（6＋12）＝18；

從對角線中可求出 E＝36-（5＋12）=19；

從第一列中可求出 A=36-（6＋19）=11；

從第一行中可求出 B=36-（11＋5）=20；

從第二列中可求出 F=36-（20+12）＝4；

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從第三列中可求出 G=36-（5＋18）=13。

得到的三階幻方如圖 11。

從上面的例題我們不難看出：要填出一個三階幻方，中心數起著至關重要的作用。

利用幻和=中心數×3 這個關系式，在已知幻和的情況下，可先求出中心數；在已知中

心數的情況下，可求出幻和，以便其他數的求出。

練習七

1.用 1～9 這九個數字補全圖 12 中的幻方，并求出幻和。

2.用 3～11 這九個數補全圖 13 中的幻方，并求出幻和。

3.在圖 14 的空格中填入不大于 15 且互不相同的自然數（其中已填好一個數），

使每一橫行、豎列和對角線上的三個數之和都等于 30。

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每一豎行、兩條對角線中三個數的和都相等。

 

的圓內，使每一橫行、

 

5.將九個連續自然數填入 3 行 3 列的九個空格中，使每一橫行、每一豎列及每一

條對角線上三個數的和都等于 45。

6.將從 1 開始的九個連續奇數填入 3 行 3 列的九個空格中，使每一橫行、每一豎

列及兩條對角線上的三個數之和都相等。

八、邏輯推理

在有些問題中，條件和結論中不出現任何數和數字，也不出現任何圖形，因而，

它既不是一個算術問題，也不是一個幾何問題。

也有這樣的題目，表面看來是一個算術或幾何問題，但在解決它們的過程中卻很

少用到算術或幾何知識。

57

 

 

所有這些問題的解決，需要我們深入地理解條件和結論，分析關鍵所在，找到突

破口，由此入手，進行有根有據的推理，做出正確的判斷，最終找到問題的答案。這

類問題我們稱它為邏輯推理。

例 1 在一樁謀殺案中，有兩個嫌疑犯甲和乙。另有四個證人正在受到訊問。

第一個證人說：“我只知道甲是無罪的。”

第二個證人說：“我只知道乙是無罪的。”

第三個證人說：“前面兩個證詞中至少有一個是真的。”

第四個證人說：“我可以肯定第三個證人的證詞是假的。”

通過調查研究，已證實第四個證人說了實話，請你分析一下，兇手是誰？

分析與解 題目中條件較多，且四個人的證詞有真有假，在這種情況下，要善于抓住關

鍵，由此入手進行有根有據的逐步推理。本題的關鍵是：第四個人說了實話。

因為第四個人說了實話，所以第三個人的證詞是偽證，也就是說“前兩個證詞中

至少有一個是真的”是句假話。由此可以斷定，第一個和第二個證人都說了假話。從

而判斷出甲和乙都是兇手。

注意：像上面的例題，從眾多的條件中抽取關鍵的條件，往往是進行分析和推理

的突破口。

例 2 某車間新調來三名青年工人，車間趙主任問他們三人的年齡。

58

 

小劉說：“我 22 歲，比小陳小 2 歲，比小李大 1 歲。”

小陳說：“我不是年齡最小的，小李和我差 3 歲，小李是 25 歲。”

小李說：“我比小劉年歲小，小劉 23 歲，小陳比小劉大 3 歲。”

這三位青年工人在他們每人說的三句話中，都有一句是錯的。請你幫助趙主任分

析出他們三人各是多少歲？

分析與解 本題類似于例 1，首先應找到解決問題的突破口。但本題又不完全同于例 1，

并不知道哪句話真，哪句話假。所以解決本題的首要目標是先確定一句話是真還是假。

經過審題，仔細分析這九句話，不難發現有兩句話是相互矛盾的。一句話是小劉

說的第一句話：“我 22 歲”，另一句話是小李說的第二句話：“小劉 23 歲”。這兩

句話不能都真，必有一句是假的。為了確定這兩句話的真假性。可以先假設某一句為

真，如果推不出矛盾，本題就獲得了解決；如果推出矛盾，就說明這句話是假的，從

而也就找到了突破口。

先假設小劉說的第一句話“我 22 歲”為真，那么小李說的第二句話“小劉 23 歲”

就為假，因此小李的另外兩句話就應該是真話，從“小陳比小劉大 3 歲”就推出小陳

是 25 歲；又從“我比小劉年歲小”推出小李小于 22 歲。可是這樣一來，小陳說的三

句話中，“小李和我差 3 歲”和“小李 25 歲”這兩句話都不能成立，這與本題中的要

求（“每人說的三句話中，都有一句是錯的”，即三句話中有兩句話是真的）相矛盾。

因此，小劉說的“我 22 歲”這句話是假的。

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由于小劉說的第一句話是假的，所以后兩句話就是真的。因此，小李說的第三句

話“小陳比小劉大 3 歲”就是假的，所以，小李說的第二句話“小劉 23 歲”就是真的。

于是就可以推出：小李 22 歲，小陳 25 歲，小劉 23 歲。

注意：這道題我們采用的解題方法是：先假設，然后根據已知條件，進行正確的

推理。如果推出矛盾，則說明假設不合理，由此得到與假設相反的結果。如果由假設

出發，沒有推出矛盾的結果，則說明假設合理。這種方法就叫假設法，是我們解題中

常用的一種方法，希望同學們能夠掌握。