霍奇猜想

　　霍奇猜想是代數幾何的一個重大的懸而未決的問題。由威廉·瓦倫斯·道格拉斯·霍奇提出，它是關于非奇異復代數簇的代數拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關聯的猜想，屬于世界十大數學難題之一。

　　龐加萊猜想

　　龐加萊猜想是法國數學家龐加萊提出的一個猜想，其中三維的情形被俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼于2003年左右證明。2006年，數學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。后來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。提出這個猜想后，龐加萊一度認為自己已經證明了它。

　　黎曼假說概述

　　有些數具有特殊的屬性，它們不能被表示為兩個較小的數字的乘積，如2，3，5，7，等等。這樣的數稱為素數（或質數），在純數學和應用數學領域，它們發揮了重要的作用。所有的自然數中的素數的分布并不遵循任何規律。然而，德國數學家黎曼（1826年—1866年）觀察到，素數的頻率與一個復雜的函數密切相關。

　　楊米爾斯的存在性和質量缺口

　　楊米爾斯的存在性和質量缺口是世界十大數學難題之一，問題起源于物理學中的楊·米爾斯理論。該問題的正式表述是：證明對任何緊的、單的規范群，四維歐幾里得空間中的楊米爾斯方程組有一個預言存在質量缺口的解。該問題的解決將闡明物理學家尚未完全理解的自然界的基本方面。

　　納維—斯托克斯方程

　　建立了流體的粒子動量的改變率（加速度）和作用在液體內部的壓力的變化和耗散粘滯力（類似于摩擦力）以及重力之間的關系。這些粘滯力產生于分子的相互作用，能告訴我們液體有多粘。這樣，納維—斯托克斯方程描述作用于液體任意給定區域的力的動態平衡，這在流體力學中有十分重要的意義。

　　四色猜想

　　四色猜想的內容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。”也就是說在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來標記就行。

　　用數學語言表示即“將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1234這四個數字之一來標記而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。”這里所指的相鄰區域是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區域只相遇于一點或有限多點就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們著色不會引起混淆。

　　哥德巴赫猜想

　　1742年6月7日，德國數學家哥德巴赫在寫給著名數學家歐拉的一封信中，提出了兩個大膽的猜想：

　　1、任何不小于6的偶數，都是兩個奇質數之和；

　　2、任何不小于9的奇數，都是三個奇質數之和。

　　這就是數學史上著名的“哥德巴赫猜想”。顯然，第二個猜想是第一個猜想的推論。因此，只需在兩個猜想中證明一個就足夠了。

　　同年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中， 明確表示他深信哥德巴赫的這兩個猜想都是正確的定理，但是歐拉當時還無法給出證明。由于歐拉是當時歐洲最偉大的數學家，他對哥德巴赫猜想的信心，影響到了整個歐洲乃至世界數學界。從那以后，許多數學家都躍躍欲試，甚至一生都致力于證明哥德巴赫猜想。可是直到19世紀末，哥德巴赫猜想的證明也沒有任何進展。證明哥德巴赫猜想的難度，遠遠超出了人們的想象。有的數學家把哥德巴赫猜想比喻為“數學王冠上的明珠”。

　　我們從6＝3＋3、8＝3＋5、10＝5＋5、……、100＝3＋97＝11＋89＝17＋83等這些具體的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一驗證了3300萬以內的所有偶數，竟然沒有一個不符合哥德巴赫猜想的。20世紀，隨著計算機技術的發展，數學家們發現哥德巴赫猜想對于更大的數依然成立。可是自然數是無限的，誰知道會不會在某一個足夠大的偶數上，突然出現哥德巴赫猜想的反例呢？于是人們逐步改變了探究問題的方式。

　　幾何尺規作圖問題

　　尺規作圖相傳神話中的一個國王對兒子給他造的墳墓不滿意，命令把墳墓擴大一倍，但是當時的工匠都不知如何解決。后來，德利安人為了擺脫某種瘟疫，遵照神諭，必須把阿波洛的立方體祭壇擴大一倍。據說，這個問題提到柏拉圖那里，柏拉圖又把它交給了幾何學家．這就是著名的倍立方問題。除倍立方問題外，還有三等分任意角、化圓為方（作一正方形，使其面積等于給定的圓面積）。 古希臘人用尺規作圖，主要目的在于訓練智力，培養邏輯思維能力，所以對作圖的工具有嚴格的限制。他們規定作圖只能用直尺和圓規，而他們所謂的直尺是沒有刻度的。正是在這種嚴格的限制下，產生了種種難題。

　　在數學史中，很難找到像這樣長期被人關注的問題．兩千多年以來，無數人的聰明才智傾注于這三個問題而毫無結果。但對這三個問題的深入探索，促進了希臘幾何學的發展，引出了大量的發現，如圓錐曲線、許多二次和三次曲線以及幾種超越曲線的發現等；后來又有關于有理域、代數數、超越數、群論和方程論若干部分的發展。直到19世紀，即距第一次提出這三個問題兩千年之后，這三個尺規作圖問題才被證實在所給的條件下是不可能解決的。