數的整除問題奧數試題及答案

　　試問，能否將由1至100這100個自然數排列在圓周上，使得在任何5個相連的數中，都至少有兩個數可被3整除?如果回答：“可以”，則只要舉出一種排法;如果回答：“不能”，則需給出說明.

　　考點：數的整除特征.

　　分析：根據題意，可采用假設的方法進行分析，100個自然數任意的5個數相連，可以分成20個組，使得在任何5個相連的數中，都至少有兩個數可被3整除，那么會有40個數是3的'倍數，事實上在1至100的自然數中只有33個是3倍數，所以不能.

　　解答：假設能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個數，

　　按所排列順序將它們每5個分為一組，可得20組，

　　其中每兩組都沒有共同的數，于是，在每一組的5個數中都至少有兩個數是3的倍數.

　　從而一共會有不少于40個數是3的倍數.但事實上在1至100的這100個自然數中只有33個數是3的倍數，

　　導致矛盾，所以不能.

　　答：不能.

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