《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案

時(shí)間：2024-08-10 07:54:05

　　教案是教師為順利而有效地開展教學(xué)活動(dòng)，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，教學(xué)大綱和教科書要求及學(xué)生的實(shí)際情況，以課時(shí)或課題為單位，對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)步驟、教學(xué)方法等進(jìn)行的具體設(shè)計(jì)和安排的一種實(shí)用性教學(xué)文書。下面是小編整理的《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案，歡迎大家分享。

《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案

　　《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案篇1

　　一、目標(biāo)

　　1.掌握拋物線的定義、幾何圖形,會(huì)推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

　　2.能夠利用給定條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

　　3.通過“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考與推理，學(xué)會(huì)反思與感悟，形成良好的數(shù)學(xué)觀。并進(jìn)一步感受坐標(biāo)法及數(shù)形結(jié)合的思想

　　二、重點(diǎn)

　　拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程

　　三、教學(xué)難點(diǎn)

　　拋物線定義的形成過程及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)（關(guān)鍵是坐標(biāo)系方案的選擇）

　　四、教學(xué)過程

　　（一）復(fù)習(xí)舊知

　　在初中，我們學(xué)習(xí)過了二次函數(shù)，知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。

　　例如：（1），（2）的圖象（展示兩個(gè)函數(shù)圖象）：

　　（二）講授新課

　　1.課題引入

　　在實(shí)際生活中，我們也有許多的拋物線模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的薩爾南拱門,它就是用不銹鋼鑄成的拋物線形的建筑物。到底什么樣的曲線才可以稱做是拋物線？它具有怎樣的幾何特征？它的方程是什么呢？

　　這就是我們今天要研究的內(nèi)容.（板書：課題2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程）

　　2.拋物線的定義

　　信息技術(shù)應(yīng)用（課堂中展示畫圖過程）

　　先看一個(gè)實(shí)驗(yàn)：

　　如圖：點(diǎn)F是定點(diǎn)，是不經(jīng)過點(diǎn)F的定直線，H是上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)H作，線段FH的垂直平分線交MH于點(diǎn)M。拖動(dòng)點(diǎn)H，觀察點(diǎn)M的軌跡，你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M滿足的幾何條件嗎？（學(xué)生觀察畫圖過程，并討論）

　　可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)M隨著H運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有MH=MF,即點(diǎn)M與定點(diǎn)F和定直線的距離相等。（也可以用幾何畫板度量MH，MF的值）

　　（定義引入）：

　　我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線（不經(jīng)過點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。（板書）

　　思考？若F在上呢？（學(xué)生思考、討論、畫圖）

　　此時(shí)退化為過F點(diǎn)且與直線垂直的一條直線.

　　3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

　　從拋物線的定義中我們知道，拋物線上的點(diǎn)滿足到焦點(diǎn)F的距離與到準(zhǔn)線的距離相等。那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是什么，即拋物線的方程是什么呢？

　　要求拋物線的方程，必須先建立直角坐標(biāo)系。

　　問題設(shè)焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為，你認(rèn)為應(yīng)該如何選擇坐標(biāo)系求拋物線的方程？按照你建立直角坐標(biāo)系的方案，求拋物線的方程。

　　（引導(dǎo)學(xué)生分組討論，回答，并不斷補(bǔ)充常見的幾種建系方法，叫學(xué)生應(yīng)用投影儀展示計(jì)算結(jié)果）

　　注意：

　　1.標(biāo)準(zhǔn)方程必須出來，此表格在黑板上板書。

　　2.若出現(xiàn)比較復(fù)雜建系方案，可以以引入的'字母參數(shù)較多為由，先排除計(jì)算。

　　3.強(qiáng)調(diào)P的意義。

　　4.教師說明曲線方程與方程的曲線：從上述過程可以看到，拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，即方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在拋物線上。所以這些方程都是拋物線的方程。

　　（選擇標(biāo)準(zhǔn)方程）

　　師：觀察4（3）個(gè)建系方案及其對(duì)應(yīng)的方程，你認(rèn)為哪種建系方案使方程更簡單？

　　（學(xué)生選擇，說明1.對(duì)稱軸2.焦點(diǎn)3.方程無常數(shù)項(xiàng)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)）

　　推導(dǎo)過程：取過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如右圖所示，則有F（,0）,l的方程為x=—。

　　設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x,y），由拋物線定義得：

　　化簡得y2=2px(p＞0)

　　師：我們把方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是。

　　師：在建立橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，選擇不同的坐標(biāo)系得到了不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)于拋物線，當(dāng)我們選擇如圖三種建立坐標(biāo)系的方法，我們也可以得到不同形式的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

　　（學(xué)生分前兩排，中間兩排，后面兩排三組分別計(jì)算三種情況，一起填充表格）

　　圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程

　　y2=2px(p＞0)

　　（,0）

　　x=—

　　y2=—2px(p＞0)

　　（—,0）

　　x2=2py(p＞0)

　　（0,）

　　y=—

　　x2=—2py(p＞0)

　　（0,—）

　　(三)例題講解

　　例1（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,

　　（2）已知拋物線的焦點(diǎn)是，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

　　解：（1）∵拋物線方程為y2=6x

　　∴p=3，則焦點(diǎn)坐標(biāo)是（，0），準(zhǔn)線方程是x=—.

　　（2）∵焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，且=2，∴p=4

　　則所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：x2=—8y.

　　變式訓(xùn)練1：

　　(1)已知拋物線的準(zhǔn)線方程是x=—，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

　　(2)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是2y2+5x=0,求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

　　解(1)∵焦點(diǎn)是F（0，3），∴拋物線開口向上，且=3，則p=6

　　∴所求拋物線方程是x2=12y

　　(2)∵拋物線方程是2y2+5x=0，即y2=—x，∴p=[高考XK]

　　則焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(—,0)，準(zhǔn)線方程是x=

　　例2點(diǎn)M與點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線l:x+5=0的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程.

　　解：如右圖所示，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y)

　　由已知條件可知，點(diǎn)M與點(diǎn)F的距離等于它到直線x+4=0的距離.根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M的軌跡是以F（4，0）為焦點(diǎn)的拋物線.

　　∵=4，∴p=8

　　因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸的正半軸上，所以點(diǎn)M的軌跡方程為y2=16x.

　　變式訓(xùn)練2：

　　在拋物線y2=2x上求一點(diǎn)P，使P到焦點(diǎn)F與到點(diǎn)A（3，2）的距離之和最小.

　　解：如下圖所示，設(shè)拋物線的點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為PQ

　　由拋物線定義可知：PF=PQ

　　∴PF+PA=PQ+PA

　　顯然當(dāng)P、Q、A三點(diǎn)共線時(shí)，PQ+PA最小.

　　∵A(3,2)，可設(shè)P（x0,2)代入y2=2x得x0=2

　　故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）.

　　(四)小結(jié)

　　1、拋物線的定義；

　　2、拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程；

　　3、注意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的字母P的幾何意義.

　　《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案篇2

　　知識(shí)目標(biāo)：

　　1、掌握拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　2、能根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。

　　能力目標(biāo)：

　　能根據(jù)簡單的已知條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　情感目標(biāo)：

　　能根據(jù)老師的引導(dǎo)積極探索問題的規(guī)律。

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　分清拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　利用拋物線的定義探索解決一些新問題。

　　教學(xué)方法及手段：

　　啟發(fā)引導(dǎo)

　　教學(xué)過程：

　　一、課程引入

　　1、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？

　　2、與兩條相交直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？

　　問：與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？(學(xué)生探索)

　　教師flash課件演示（解釋原理）

　　二、新課解析

　　1、定義：（板書課題）

　　平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線L的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線。點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)。直線L叫拋物線的準(zhǔn)線。

　　生活中的拋物線有哪些？太陽灶，拋射物體的運(yùn)行軌道，二次函數(shù)的圖象等。

　　但在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對(duì)稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形．如果拋物線的對(duì)稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研究了．今天，我們突破函數(shù)研究中這個(gè)限制，從更一般意義上來研究拋物線．

　　2、推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（先復(fù)習(xí)求軌跡方程的方法和步驟；如何建系）

　　建立直角坐標(biāo)系系，設(shè)|KF|=（>0）,那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，設(shè)拋物線上的點(diǎn)M（x,y），則有化簡方程得

　　3、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：

　　方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

　　它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（,0），它的準(zhǔn)線方程是說明：拋物線，由于它在坐標(biāo)系的`位置不同，方程也不同，有四種不同的情況。這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下

　　圖形

　　方程

　　焦點(diǎn)

　　準(zhǔn)線

　　相同點(diǎn)：

　　(1)拋物線都過原點(diǎn)；

　　(2)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；

　　(3)準(zhǔn)線都與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離

　　不同點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的變量決定焦點(diǎn)在哪條軸上，系數(shù)的”＋”，”－”決定焦點(diǎn)在正半軸還是負(fù)半軸

　　三、例題精講

　　例1：

　　(1)已知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;

　　（2）已知拋物線的方程是y=－6×2，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

　　（3）已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，－2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　例2：求經(jīng)過點(diǎn)A（－3，2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

　　思考題：（選做）

　　M是拋物線y2=2px（P＞0）上一點(diǎn)，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為X0，則點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是?

　　四、課堂練習(xí)

　　1、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

　　（1）焦點(diǎn)是F（3，0）；

　　（2）準(zhǔn)線方程是x=－

　　（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2。

　　2、求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：

　　（1）y2=20x（2）x2=y（3）x2+8y=0

　　（選做）

　　3、點(diǎn)M與點(diǎn)F（4,0）的距離比它到直線的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程

　　五、課堂小結(jié)

　　1、拋物線定義

　　2、拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖像；焦點(diǎn)準(zhǔn)線的判定

　　3、求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法（1）定義法；（2）待定系數(shù)法

　　六、作業(yè)布置

　　學(xué)案反面《課后作業(yè)》

　　七、教學(xué)設(shè)計(jì)說明

　　（1）建立坐標(biāo)系是坐標(biāo)法的思想基礎(chǔ)，但不同的建立方式使所得的方程繁簡不同，布置學(xué)生自己寫出推導(dǎo)過程并與課文對(duì)照可以培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力、自學(xué)能力，提高教學(xué)效果，進(jìn)一步明確拋物線上的點(diǎn)的幾何意義。

　　（2）猜想是數(shù)學(xué)問題解決中的一類重要方法，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)推導(dǎo)出的（1）的標(biāo)準(zhǔn)方程猜想其它幾個(gè)結(jié)論，非常有利于培養(yǎng)學(xué)生歸納推理或類比推理的能力，幫助他們形成良好的直覺思維—數(shù)學(xué)思維的一種基本形式另外讓學(xué)生推導(dǎo)和猜想出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程所有的四種形式，也比老師直接寫出這些方程給學(xué)生帶來的理解和記憶的效果更好。

　　（3）對(duì)四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程進(jìn)行完整的歸納小結(jié)，讓學(xué)生通過對(duì)比分析全面深刻地理解和掌握它們。