指數與指數冪的運算教案
指數與指數冪的運算教案
[課題]
授課地點：佛岡中學高一（21）班
授課教師：
授課時間：
聽課教師：高一級數學備課組
[目標]
1.知識與技能：理解根式的概念，掌握n次方根的性質
2.過程與方法：
（1）.通過師生之間、學生與學生之間互相交流，使學生逐步學會共同學習.
（2）引導學生認真體會數學知識發展的邏輯合理性、嚴謹性，做一個具備嚴謹科學態度的人.
（3）通過探究、思考，培養學生思維遷移能力和主動參與的能力
3.情感態度與價值觀：
（1）.新知識的發現是因為面臨的問題以原有的知識得不到解決所引發出來的思考，通過學習根式的概念，使學生認清 基本概念的來龍去脈，加深對人類認識事物的一般規律的理解和認識，體會知識之間的有機聯系，感受數學的整體性，激發學生的學習興趣，培養學生嚴謹的科學精神.
（2）在過程中，通過學生的自主探索，來加深理解n次方根的性質，具有探索能力是學習數學、理解數學、解決數學問題的重要方面。
[教學重點與難點]：
1. 重點：1.根式的概念.。2.n次方根的性質。
2.難點：1.根式概念的理解。2.n次方根性質的理解。
[教學方法與手段]
1.教學方法：啟發式、探究式教學
2.教學手段：運用多媒體教學
[教學過程]
一、創設情景，引入新課
師：你們知道考古學家是怎樣來判斷生物的發展與進化的嗎？
生：對生物體化石 的研究.
師：那么他們是怎樣來判斷該生物體所處的年代的?你們知道嗎?
（眾生搖頭）
師：考古學家是按照這樣一個規律來推測的.
問題：當生物死亡后，它機體內原有的碳14會按確定的規律衰減，大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.根據此規律，人們獲得了生物體內碳14含量P與死亡年數t之間的關系，這個關系式應該怎樣表示呢?我們可以先來考慮這樣的問題：
當生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它體內碳14的含量P分別為原來的多少?
生： ，（ ）2，（ ）3，….
師：當生物體死亡了6000年，10000年，100000年后，它體內碳14的含量P分別為原來的多少?
生：（ ） ，（ ） ，（ ） .
師：由以上的實例來推斷關系式應該是什么?
生：P=（ ） .
師：考古學家根據上式可以知道，生物死亡t年后，體內碳14含量P的值.那么這些數（ ） ，（ ） ，（ ） 的意義究竟 是什么呢？它和我們初中所學的指數有什么區別?
生：這里的指數是分數的形式.
師：指數可以取分數嗎?除了分數還可以取其他的數嗎?我們對于數的認識規律是怎樣的?
生：自然數??整數??分數（有理數）??實數.
師：指數能否取分數（有理數）、無理數呢？如果能，那么在脫離開上面這個具體問題以后，關系式P=（ ） 就會成為我們后面將要相繼研究的一類基本初等函數??“指數函 數”的一個具體模型.為了能水到渠成地研究指數函數，我們有必要認識一下指數概念的擴充和完善過程，這就是我們下面三節課將要研究的內容：分數指數冪（有 理數指數冪）、無理數指數冪.
（引入課題，書寫課題??指數與指數冪的運算）
二、講解新課
（一）探求n次方根的概念
師：32=9，那么，在這個等式中3對于9來說，扮演著什么角色？9對于3來說又扮演著什么角色呢?
生：9叫做3的平方數，3叫做9的平方根.
師：若53=125，那么125對于5來說，扮演著什 么角色？5對于125來說又扮演著什么角色呢?
生：125是5的立方數，5是125的立方根.
師：如果x2=a，那么x對于a來說扮演著什么角色？
生：x是a的平方根.
師：能否用一句話描述你的結論？
生：如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根.
師：如果x3=a，那么x對于a來說又扮演著什么角色？
生 ：x是a的立方根.
師：能換一種說法表述你的結論嗎？
生：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根.
師：如果x4=a，x5=a，又有什么樣的結論呢？
生：如果一個數的四次方等于a，那么這個數叫做a的四次方根；如果一個數的五次方等于a，那么這個數叫做a的五次方根.
師：①如果x2=a，那么x叫做a的平方根；②如果x3=a，那么x叫 做a的立方根；③如果x4=a，那么x叫做a的4次方根.你能否據此得到一個一般性的結論？
生：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.
師：上述結論中的n的取值有沒有什么限制呢？
（生探索，完善n次方根的定義，并強調n的取值范圍，師板書如下定義）
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根（n?throot），其中n＞1，且n∈N*.
（二）概念理解
課堂訓練：
試根據n次方根的定義分別求出下列各數的n次方根.
（多媒體顯示，生完成）
（1）25的平方根是________；（2）27的三次方根是________；（3）－32的五次方根是________；
（4）16的四次方根是________；（5）a6的三次方根是________；（6）0的七次方根是________.
（師組織學生緊扣n次方根的定義，完成以上各題）
方法引導：在n次方根的概念中，關鍵的是數a的n次方根x滿足xn=a，因此求一個數a的n次方根，就是求出哪個數的n次方等于a.
（三）n次方根的性質
合作探究：觀察并分析以上各數的方根，你能發現什么？
（學生交流，師及時捕捉與如下結論有關的信息，并簡單板書）
1.以上各數的對應方根都是有理數；
2.第（1）、第（4）的答案有兩個，第（2）、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一個；
3.第（1）題的答案中的兩個值互為相反數.
師：請仔細分析以上各題，你能否得到一個一般性的結論？
（提供一個比較發散的問題，給學生提供廣闊的思維空間，培養學生理性思維能力和數學的分析問題、解決問題的能力）
生甲：一個數的奇次方根只有一個.
生乙：一個數的偶次方根有兩個，且互為相反數.
師：是否任何一個數都有偶次方根？0的n次方根如何規定更合理？
生：因為任何一個數的偶次方都是非負數，所以負數沒有偶次方根，0的n次實數方根等于0.
師：你能否把你所得到的結論再敘述的 具體一些呢？
（組織學生交流，得出以下結論）
n次方根的性質實際上是平方根和立方根性質的推廣，因此跟立方根和平方根的情況一樣，方根也有如下性質：
（1）當n是奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數.這時，a的n次方根用符號 表示.
（2）當n是偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數.這時，正數a的正的n次方根用符號 表示，負的n次方根用符號－ 表示.正的n次方根與負的n次方根可以合并寫成± （a＞0）.
注：①負數沒有偶次方根；
②0的任何次方根都是0，記作 =0；
③當a≥0時， ≥0，所以類似 =±2的寫法是錯誤的.
（四）根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指數，a叫做被開方數.
例如 叫做根式，其中5叫做根指數，6叫做被開方數.
（五）n次方根的運算性質
求下列各式的值：
（1）（ ）2；（2） ；（3） ；（4） （a＞3）.
（生板演，師組織學生評析）
解：（1）（ ）2=5；（2） =－2；（3） =－2=2；（4） =
3－a=a－3.
師：上面的例題中涉及了哪幾類問題?
生：主要涉及了（ ）n與 的問題.
合作探究：（1）（ ）n的含義是什么？其化簡結果是什么呢？
（2） 的含義是什么？其化簡結果是什么呢？
（組織學生結合例題及其解答，進行分析討論、歸納出以下結論）
（1）（ ）n=a.例如，（ ）3=27，（ ）5=－ 32.
（2）當n是奇數時， =a；當n是偶數時， =a= 例如， =－2， =2； =3， =－3=3.
（六）例題講解
（生板演，師組織學生進行課堂評價）
【例1】求下列各式的值：
（1）（ ）3；（2） ；（3） ；（4） （a＞b）.
解：（1） （ ）3=－8；（2） =10；
（3） =π－3；（4） =a－b=a－b.
【例2】化簡下列各式：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .
解：（1） = = = ；（2） = = ；
（3） =－ =－ ；（4） = =x2；
（5） = = .
三、課堂練習
1.若x∈ R，y∈R，下列各式中正確的是
A. =x+y B. － =x－y
C. + =2xD. + =0
2. = 成立的條件是
A. ≥0B.x≠1C.x＜1D.x≥2
3.在① ；② ；③ ；④ （各式中n∈N，a∈R）中，有意義的是
A.①②B.①③C.①②③④D.①③④
4.當8＜x＜10時， － =________.
參考答案：
1.D2.D3.B4.2x－18
四、課堂小結
師：請同學們互相交流一下你在本課學習中的收獲.
（生互相交流，而后由師多媒體顯示如下內容）
1.若xn=a（n＞1，n∈N*），則x叫做a的n次方根.當n是奇數時，實數a的n次方根用符號 表示；當n是偶數時，正數a的n次方根用符號± 表示，負數的偶次方根無意義.式 子 叫做根式，其中n叫做根指數，a叫做被開方數.
2.在實數范圍內，正數的奇次方根是一個正數；負數的奇次方根是一個負數.正數的偶次方根是兩個絕對值相等符號相反的數；負數的偶次方根沒有意義；0的任何次方根都是0.
3.（1）（ ）n=a.
（2）當n為奇數時， =a；當n為偶數時， =a=
五、布置作業
（一）復習課本第5本P69習題2.1A組第1題.
板書設計
2.1.1指數與指數冪的運算（1）
一、基本概念和性質
1.n次方根的定義
2.n次方根的性質
3.根式的定義
4.n次方根的運算性質
二、例題解析即學生訓練板演
例1.求下列各式的值
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