積化和差公式的證明和記憶

積化和差公式的證明和記憶

　　積化和差，指初等數學三角函數部分的一組恒等式。

　　公式

　　sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2【注意右式前的負號】

　　cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2

　　sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2

　　cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

　　證明

　　法1

　　積化和差恒等式可以通過展開角的和差恒等式的右手端來證明。

　　即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明：

　　sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

　　=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ）-(cosαcosβ+sinαsinβ）]

　　=-1/2[cos（α+β）-cos（α-β）]

　　其他的3個式子也是相同的證明方法。

　　（該證明法逆向推導可用于和差化積的計算，參見和差化積）

　　法2

　　根據歐拉公式，e^ix=cosx+isinx

　　令x=a+b

　　得e ^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）

　　所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

　　sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

　　記憶方法

　　積化和差公式的形式比較復雜，記憶中以下幾個方面是難點，下面指出了特點各自的簡單記憶方法。

　　【1】這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域應該 是

　　[-2,2]，而積的值域確是[-1,1]，因此除以2是必須的。

　　也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成有系數2，如：

　　cos（α-β）-cos（α+β）

　　=(cosαcosβ+sinαsinβ）-(cosαcosβ-sinαsinβ）

　　=2sinαsinβ

　　故最后需要除以2。

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