數(shù)學歸納法證明不等式學案

數(shù)學歸納法證明不等式學案

　　學案 4.1.1數(shù)學歸納法證明不等式

　　6、.用數(shù)學歸納法證明4 +3n+2能被13整除，其中n∈N

　　7、求證：

　　8、已知， ， 用數(shù)學歸納法證明：

　　9、.求證：用數(shù)學歸納法證明 ．

　　答案:

　　1. 關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性：

　　10. 驗證n取第一個值時命題成立( 即n＝ 時命題成立) (歸納奠基） ；

　　20. 假設(shè)當n=時命題成立，證明當n=＋1時命題也成立(歸納遞推）.

　　30. 由10、20知，對于一切n≥ 的自然數(shù)n命題都成立！(結(jié)論）

　　要訣: 遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉.

　　例2 證明:(1)當n=2時，左＝(1＋x)2=1+2x+x2

　　∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2時不等式成立

　　（2）假設(shè)n=(≥2)時，不等式成立，即 (1+x)>1+x

　　當n=+1時，因為x> -1 ，所以1+x>0，于是

　　左邊=(1+x)+1 右邊=1+(+1)x．

　　因為x2＞0，所以左邊＞右邊，即(1+x)+1>1+(+1)x．

　　這就是說，原不等式當n=+1時也成立．

　　根據(jù)(1)和(2)，原不等式對任何不小于2的自然數(shù)n都成立.

　　例3 證明:⑴當 時,有 ，命題成立.

　　⑵設(shè)當 時，命題成立，即若 個正數(shù) 的乘積 ,

　　那么它們的和 .

　　那么當 時,已知 個正數(shù) 滿足 .

　　若 個正數(shù) 都相等,則它們都是1.其和為 ,命題成立.

　　若這 個正數(shù) 不全相等,則其中必有大于1的數(shù),也有小于1的數(shù)

　　(否則與 矛盾).不妨設(shè) .

　　例4證:(1)當n=1時,左邊= ,右邊= ,由于 故不等式成立.

　　(2)假設(shè)n=( )時命題成立,即

　　則當n=+1時,

　　即當n=+1時,命題成立.

　　由(1)、(2)原不等式對一切 都成立.

　　例5（1）

　　練習

　　1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

　　∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.

　　證明：n=1,2時，由上得證，設(shè)n=(≥2)時，

　　f()=(2+7)3+9能被36整除，則n=+1時，

　　f(+1)－f()=(2+9)3+1?－(2+7)3

　　=(6+27)3－(2+7)3

　　=(4+20)3=36(+5)3－2?(≥2)

　　f(+1)能被36整除

　　∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的值等于36. 答案：C

　　2、解析：

　　(n∈N*)

　　(n∈N*)

　　4、證:(1)當n=1時,A1=5+2+1=8,命題顯然成立.

　　(2)假設(shè)當n=時,A能被8整除,即 是8的倍數(shù).

　　那么:

　　因為A是8的倍數(shù),3-1+1是偶數(shù)即4(3-1+1)也是8的倍數(shù),所以A+1也是8的倍數(shù),

　　即當n=+1時,命題成立.

　　由(1)、(2)知對一切正整數(shù)n, An能被8整除.

　　5．證明： 1當n=1時，左邊=1- = ，右邊= = ，所以等式成立。

　　2假設(shè)當n=時，等式成立，

　　即 。

　　那么，當n=+1時，

　　這就是說，當n=+1時等式也成立。

　　綜上所述，等式對任何自然數(shù)n都成立。

　　6．證明：(1)當n=1時，42×1+1+31+2=91能被13整除

　　(2)假設(shè)當n=時，42+1+3+2能被13整除，則當n=+1時，

　　42(+1)+1+3+3=42+142+3+23－42+13+42+13

　　=42+113+3(42+1+3+2?)

　　∵42+113能被13整除，42+1+3+2能被13整除

　　∴當n=+1時也成立.

　　由①②知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.

　　7．證明：（1）當n=2時，右邊= ，不等式成立．

　　（2）假設(shè)當 時命題成立，即 ．

　　則當 時，

　　所以則當 時，不等式也成立．

　　由（1），（2）可知，原不等式對一切 均成立．

　　8. 證明：

　　（1）當n=2時， ，∴命題成立．

　　（2）假設(shè)當 時命題成立，即 ．

　　則當 時，

　　所以則當 時，不等式也成立．

　　由（1），（2）可知，原不等式對一切 均成立．

　　9、證明：（1） 當n=1時， ，不等式成立；

　　當n=2時， ，不等式成立；

　　當n=3時， ，不等式成立．

　　（2）假設(shè)當 時不等式成立，即 ．

　　則當 時， ，

　　∵ ，∴ ，（*）

　　從而 ，

　　∴ ．

　　即當 時，不等式也成立．

　　由（1），（2）可知， 對一切 都成立．

　　5

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