線段的垂直平分線學案教學設計

時間：2024-11-20 21:54:51

線段的垂直平分線學案教學設計（通用10篇）

　　作為一位杰出的老師，通常會被要求編寫教學設計，借助教學設計可使學生在單位時間內能夠學到更多的知識。那么優秀的教學設計是什么樣的呢？以下是小編為大家整理的線段的垂直平分線學案教學設計，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

線段的垂直平分線學案教學設計（通用10篇）

　　線段的垂直平分線學案教學設計 1

　　1、教材分析

　�。�1）知識結構

　　（2）重點、難點分析

　　本節內容的重點是線段垂直平分線定理及其逆定理。定理反映了線段垂直平分線的性質，是證明兩條線段相等的依據；逆定理反映了線段垂直平分線的判定，是證明某點在某條直線上及一條直線是已知線段的垂直平分線的依據。

　　本節內容的難點是定理及逆定理的關系。垂直平分線定理和其逆定理，題設與結論正好相反。學生在應用它們的時候，容易混淆，幫助學生認識定理及其逆定理的區別，這是本節的難點。

　　2、教法建議

　　本節課教學模式主要采用“學生主體性學習”的教學模式。提出問題讓學生想，設計問題讓學生做，錯誤原因讓學生說，方法與規律讓學生歸納。教師的作用在于組織、點撥、引導，促進學生主動探索，積極思考，大膽想象，總結規律，充分發揮學生的主體作用，讓學生真正成為教學活動的主人。具體說明如下：

　　（1）參與探索發現，領略知識形成過程

　　學生前面，學習過線段垂直平分線的概念，這樣由復習概念入手，順其自然提出問題：在垂直平分線上任取一點P，它到線段兩端的距離有何關系？學生會很容易得出“相等”。然后學生完成證明，找一名學生的證明過程，進行投影總結。最后，由學生將上述問題，用文字的形式進行歸納，即得線段垂直平分線定理。這樣讓學生親自動手實踐，積極參與發現，激發了學生的認識沖突，使學生克服思維和探求的惰性，獲得鍛煉機會，對定理的.產生過程，真正做到心領神會。

　�。�2）采用“類比”的學習方法，獲取逆定理

　　線段垂直平分線的定理及逆定理的證明都比較簡單，學生學習一般沒有什么困難，這一節的難點仍然的定理及逆定理的關系，為了很好的突破這一難點，教學時采用與角的平分線的性質定理和逆定理對照，類比的方法進行教學，使學生進一步認識這兩個定理的區別和聯系。

　�。�3）通過問題的解決，讓學生學會從不同角度分析問題、解決問題；讓學生學會引申、變更問題，以培養學生發現問題、提出問題的創造性能力。

　　線段的垂直平分線學案教學設計 2

　　教學目的：

　　1、使學生理解線段的垂直平分線的性質定理及逆定理，掌握這兩個定理的關系并會用這兩個定理解決有關幾何問題。

　　2、了解線段垂直平分線的軌跡問題。

　　3、結合教學內容培養學生的動作思維、形象思維和抽象思維能力。

　　教學重點：

　　線段的垂直平分線性質定理及逆定理的引入證明及運用。

　　教學難點：

　　線段的垂直平分線性質定理及逆定理的關系。

　　教學關鍵：

　　1、垂直平分線上所有的點和線段兩端點的距離相等。

　　2、到線段兩端點的距離相等的所有點都在這條線段的垂直平分線上。

　　教具：投影儀及投影膠片。

　　教學過程：

　　一、提問

　　1、角平分線的性質定理及逆定理是什么？

　　2、怎樣做一條線段的垂直平分線？

　　二、新課

　　1、請同學們在課堂練習本上做線段AB的垂直平分線EF（請一名同學在黑板上做）。

　　2、在EF上任取一點P，連結PA、PB量出PA=？，PB=？引導學生觀察這兩個值有什么關系？

　　通過學生的觀察、分析得出結果PA=PB，再取一點P試一試仍然有PA=PB，引導學生猜想EF上的所有點和點A、點B的距離都相等，再請同學把這一結論敘述成命題（用幻燈展示）。

　　定理：線段的垂直平分線上的點和這條線段的兩個端點的距離相等。

　　這個命題，是我們通過作圖、觀察、猜想得到的，還得在理論上加以證明是真命題才能做為定理。

　　例題：

　　已知：如圖，直線EF⊥AB，垂足為C，且AC=CB，點P在EF上

　　求證：PA=PB

　　如何證明PA=PB學生分析得出只要證RTΔPCA≌RTΔPCB

　　答：證明：∵PC⊥AB（已知）

　　∴∠PCA=∠PCB（垂直的定義）

　　在ΔPCA和ΔPCB中

　　∴ΔPCA≌ΔPCB（SAS）

　　即：PA=PB（全等三角形的對應邊相等）。

　　反過來，如果PA=PB，P1A=P1B，點P，P1在什么線上？

　　過P，P1做直線EF交AB于C，可證明ΔPAP1≌PBP1（SSS）

　　∴EF是等腰三角型ΔPAB的頂角平分線

　　∴EF是AB的垂直平分線（等腰三角形三線合一性質）

　　∴P，P1在AB的垂直平分線上，于是得出上述定理的逆定理（啟發學生敘述）（用幻燈展示）。

　　逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

　　根據上述定理和逆定理可以知道：直線MN可以看作和兩點A、B的距離相等的所有點的集合。

　　線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。

　　三、舉例（用幻燈展示）

　　例：已知，如圖ΔABC中，邊AB，BC的垂直平分線相交于點P，求證：PA=PB=PC。

　　證明：∵點P在線段AB的垂直平分線上

　　∴PA=PB

　　同理PB=PC

　　∴PA=PB=PC

　　由例題PA=PC知點P在AC的垂直平分線上，所以三角形三邊的垂直平分線交于一點P，這點到三個頂點的距離相等。

　　四、小結

　　正確的運用這兩個定理的關鍵是區別它們的條件與結論，加強證明前的分析，找出證明的途徑。定理的作用是可證明兩條線段相等或點在線段的`垂直平分線上。

　　《教案設計說明》

　　線段的垂直平分線的性質定理及逆定理，都是幾何中的重要定理，也是一條重要軌跡。在幾何證明、計算、作圖中都有重要應用。我講授這節課是線段垂直平分線的第一節課，主要完成定理的引出、證明和初步的運用。

　　在設計教案時，我結合教材內容，對如何導入新課，引出定理以及證明進行了探索。在導入新課這一環節上我先讓學生做一條線段AB的垂直平分線EF，在EF上取一點P，讓學生量出PA、PB的長度，引導學生觀察、討論每個人量得的這兩個長度之間有什么關系：得到什么結論？學生回答：PA=PB。然后再讓學生取一點試一試，這兩個長度也相等，由此引導學生猜想到線段垂直平分線的性質定理。在這一過程中讓學生主動積極的參與到教學中來，使學生通過作圖、觀察、量一量再得出結論。從而把知識的形成過程轉化為學生親自參與、發現、探索的過程。在教學時，引導學生分析性質定理的題設與結論，畫圖寫出已知、求證，通過分析由學生得出證明性質定理的方法，這個過程既是探索過程也是調動學生動腦思考的過程，只有學生動腦思考了，才能真正理解線段垂直平分線的性質定理，以及證明方法。

　　在此基礎上再提出如果有兩點到線段的兩端點的距離相等，這樣的點應在什么樣的直線上？由條件得出這樣的點在線段的垂直平分線上，從而引出性質定理的逆定理，由上述兩個定理使學生再進一步知道線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點距離的所有點的集合。這樣可以幫助學生認識理論來源于實踐又服務于實踐的道理，也能提高他們學習的積極性，加深對所學知識的理解。在講解例題時引導學生用所學的線段垂直平分線的性質定理以及逆定理來證，避免用三角形全等來證。最后總結點P是三角形三邊垂直平分線的交點，這個點到三個頂點的距離相等。為了使學生當堂掌握兩個定理的靈活運用，讓學生做87頁的兩個練習，以達到鞏固知識的目的。

　　線段的垂直平分線學案教學設計 3

　　教學目標：

　　1、要求學生掌握線段垂直平分線的性質定理及判定定理，能夠利用這兩個定理解決一些問題。

　　2、能夠證明線段垂直平分線的性質定理及判定定理。

　　3、通過探索、猜測、證明的過程，進一步拓展學生的推理證明意識和能力。

　　教學重點：

　　線段垂直平分線性質定理及其逆定理。

　　教學難點：

　　線段垂直平分線的性質定理及其逆定理的內涵和證明。

　　教學過程：

　　我們曾利用折紙的辦法得到：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離睛等，你能證明這一結論嗎？

　　一、線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等

　　1、讓學生把準備好的方方正正的紙拿出來，按照下圖的`樣子進行對折，并比較對折之后的折痕EB和E’B、FB和F’B的關系。

　　2、讓學生說出他們觀察猜測的結果是什么，肯定他們的發現，引導學生思考：這樣一個結論是比較直觀和明顯的，我們可以說出兩組邊分別是相等的，但是，我們可以用觀察說服別人嗎？

　　3、給學生留出時間和空間思考如何把猜想變成事實。學生可以討論交流不同的方法。提示學生在證明之前，要把文字語言變成數學語言，根據圖形寫出已知和求證。

　　定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。

　　已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一點。

　　求證：PA=PB。

　　證明：∵MN⊥AB，

　　∴∠PCA=∠PCB=90°

　　∵AC=BC，PC=PC

　　∴△PCA≌△PCB（SAS）

　　∴PA=PB（全等三角形的對應邊相等）

　　想一想，你能寫出上面這個定理的逆合題嗎？

　　它是真命題嗎？如果是請證明。

　　線段的垂直平分線學案教學設計 4

　　一、教學時間

　　20xx年12月10日

　　二、教學班級

　　初二（6）班

　　三、教學目的

　　1、給學生復習線段垂直平分線的定義和作法。

　　2、給學生復習點與點之間的距離，是指線段的長而不是線段。

　　3、教會學生線段垂直平分線的定理和逆定理的推導方法。

　　4、讓學生充分理解線段垂直平分線的定理和逆定理并能熟練背誦。

　　5、通過多種練習，讓學生學會熟練運用線段垂直平分線的定理和逆定理。

　　6、讓學生明確線段垂直平分線的聯系與區別。

　　過程與方法（流程圖）

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　�。ǎ常┙鉀Q問題

　　情感態度價值觀

　　１、通過對舊知識的回顧和運用，讓學生明白，平時應經常復習和鞏固舊知識，做到溫故而知新。

　　２、在學生得出結論的同時讓學生證明，可以讓他們明白任何結論都必須有科學依據，又激發了學生的求知欲和探究欲。

　�。场⒆寣W生自己用語言來描述定理和逆定理時，檢驗了他們的語言表達能力，使他們明白學科之間是相通的。

　�。�、在整個學習過程中，學生會深刻體會團體合作的重要性和競爭的`快樂。

　　四、教學過程

　　（一）畫線段AB，畫AB的垂直平分線MN，MN上任意取一點P，連結PA、PB，則PA、PB的長是點P和AB兩個端點A點和B點的距離。

　　教師提問：PA、PB在長度上有怎樣的關系？怎樣證明？

　　學生回答：PA=PB

　　已知：MN是AB的垂直平分線

　　求證：PA=PB

　　證明：∵MN是AB的垂直平分線（已知）

　　∴∠PCA=∠PCB=90？

　　AC=BC（垂直平分線的定義）

　　在△PCA和△PCB中

　　AC=BC（已證）

　　∠PCA=∠PCB（已證）

　　PC=PC（公共邊）

　　∴△PCA≌△PCB（S。A。S）

　　∴PA=PB（全等三角形的對應邊相等）

　　定理：

　　線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。

　　∵MN是AB的垂直平分線

　　∴PA=PB

　�。ǘ┊嬀€段AB和點Q，連結QA、QB，使QA=QB。

　　教師提問：點Q在怎樣的一條線上？

　　學生回答：AB的垂直平分線上

　　已知：QA=QB

　　求證：Q在AB的垂直平分線上

　　證明：

　　過Q作直線MN⊥AB

　　垂足為C

　　∵QA=QB（已知）

　　∴AC=BC（等腰三角形的三線合一）

　　∴MN是AB的垂直平分線（垂直平分線的定義）

　　∴Q在AB的垂直平分線上

　　逆定理：

　　和一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上

　　∵QA=QB

　　∴Q在AB的垂直平分線上

　　（三）試一試

　　1、如圖，在△ABC中，∠C=90？，ＭＮ是ＡＢ的中垂線。

　　（1）如果MB=10cm，那么MA=_______。

　�。�2）如果∠A=35？，那么∠1=

　�。�3）如果△MCB的周長為30cm，那么AC+BC=_______。

　　2、如圖，△ABC中，∠C=90？，D為AB的中點，D在線段_________的垂直平分線上。

　�。ㄋ模├�1。已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分線，OA=OC。

　　求證：點O在BC的垂直平分線上。

　　證明：連結BO

　　∵ON是AB的垂直平分線（已知）

　　∴OA=OB（線段的垂直平分線上的點和這條線段的兩個端點的距離相等）

　　∵OA=OC（已知）

　　∴OB=OC（等量代換）

　　∴點O在BC的垂直平分線上（和一條線段的兩個端點的距離相等的點，在這條線段的線段的垂直平分線上）

　�。ㄎ澹┚毩�

　　1、作圖

　�。�1）在直線MN上找出一點P，使PA=PB。

　�。�2）找一點P，使它到A｀B｀C三點的距離相等。

　　∴點Ｐ就是所要求作的點。

　　２、已知：如圖，Ｄ是ＢＣ延長線上的一點，ＢＤ＝ＢＣ＋ＡＣ

　　求證：點Ｃ在ＡＤ的垂直平分線上。

　�。�、已知：∠Ｃ＝９０？，ＡＢ的垂直平分線分別交ＡＣ｀ＡＢ于Ｍ｀Ｎ，ＡＭ＝２ＣＭ。

　　求證：∠Ａ＝３０

　　線段的垂直平分線學案教學設計 5

　　教學目標：

　　1、能夠利用直尺和圓規作已知線段的垂直平分線；已知底邊及底邊上的高，能夠利用直尺和圓規作出等腰三角形。知道為什么這樣做圖，提高熟練地使用直尺和圓規作圖的技能。

　　2、通過探索、猜測、證明的過程，進一步拓展學生的推理證明意識和能力。

　　教學重點：

　　作已知線段的垂直平分線。

　　教學難點：

　　理解三線共點的證明方法。

　　教學過程：

　　引入：

　　剪一個三角形紙片，通過折疊找出每條邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線，你發現了什么？當利用尺規作出三角形三條邊的垂直平分線時，你是否也發現了同樣的.結論？

　　定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。

　　證明：在△ABC中，設AB、BC的垂直平分線相交于點P，連接AP、BP、CP，

　　∵點P在線段AB的垂直平分線上

　　∴PA=PB（線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等）

　　同理：PB=PC

　　∴PA=PC

　　∴點P在AC的垂直平分線上

　　（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）。

　　∴AB，BC，AC的垂直平分線相交于點P。

　　議一議：

　　1、已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎？如果能，能作幾個？所作的三角形都全等嗎？（這樣的三角形能作出無數多個，它們不都全等）

　　2、已知等腰三角形底邊及底邊上的高，你能用尺規作出等腰三角形嗎？能作幾個？（滿足條件的等腰三角形可和出兩個，分加位于已知邊的兩側，它們全等）。

　　做一做：

　　已知底邊上的高，求作等腰三角形。

　　已知：線段a、b

　　求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h

　　線段的垂直平分線學案教學設計 6

　　一、教材分析

　　線段的垂直平分線的概念前面已學過，本課是在學生學習了軸對稱圖形的基礎上進一步研究線段這個特殊的軸對稱圖形。通過探究活動讓學生學會線段的垂直平分線的尺規作圖和它的性質應用。線段垂直平分線的性質，在計算、證明、作圖中有著廣泛的應用，可以簡化證明，方便計算。在本課的學習中，應注重聯系線段的垂直平分線性質，結合求周長的相關計算問題提高學生綜合運用能力，實現“數學來源于生活，應用于生活”的課標理念。

　　二、學情分析

　　由于本課的難點是線段垂直平分線的尺規作圖和應用性質“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”來解決有關周長問題。因此，需注重對性質進行細致的分析，使同學們能正確理解這個性質，能根據性質定理的條件準確地找出相等線段，通過周長表示利用等量代換轉化為已知條件，從而提高解決問題的能力。

　　三、教學目標

　　探索掌握線段的垂直平分線的尺規作圖。

　　探索證明線段垂直平分線的性質“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”，并能準確利用等量代換把求周長的未知問題轉化為已知問題，提高學生解決問題的能力。

　　揭示數學與現實生活的聯系，從而激發學生學習數學的積極性。

　　四、教學重點、難點

　　教學的重點是線段的垂直平分線尺規作圖和“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”這條性質的`理解及其應用。

　　難點是學會把生活問題轉化為數學問題，并能利用線段的垂直平分線性質通過等量代換解決有關周長計算問題。

　　五、教學過程：

　　（一）溫故知新

　　觀察ppt1 （有關昆蟲的圖片）加深學生對軸對稱圖形的理解，并能準確找出他們的對稱軸。

　�。╬pt2展示）提出問題1：當我們感知一個圖形是軸對稱圖形時，如果不折疊是否能做出它的對稱軸？引導學生利用軸對稱圖形性質“作出一對對稱點連線的垂直平分線”即為它的對稱軸。從而引出問題2：如何用尺規作已知線段的垂直平分線？

　　（二）新授

　　1、講解線段垂直平分線的尺規作圖步驟。（ppt3展示）

　　做法：（1）分別以點A和B為圓心，以大于　長為半徑作弧，兩弧交于點C和D。（2）作直線CD。則直線CD就是線段AB的垂直平分線。

　　2、線段垂直平分線性質探究（ppt5展示）

　　在圖5—14中，l是線段AB的垂直平分線，P是l上任意一點，試著量一量PA與PB的長度，你能發現什么？

　　學生活動：小組討論經歷猜測、度量驗證、得出結論的探究過程，激發學生學習數學的興趣。

　　證明“不論P點在直線l上怎樣移動，總有PA=PB�！保◣熒餐瓿桑�

　　得出線段垂直平分線性質（ppt6展示）：線段垂直平分線上任意一點到線段兩端點的距離相等。教師并引導學生書寫邏輯推理過程：

　　3、例題講解（ppt7、ppt8展示）

　　例1、有A、B、C三個村莊，現準備要建一所學校，要求學校到三個村莊的距離相等，請你確定學校的位置。（要求：尺規作圖）

　　教師活動：引導學生抓住問題的關鍵語句“學校到三個村莊的距離相等”，使學生知道作三村莊所在線段的垂直平分線，交點即為學校位置的道理，使學生學會把生活問題轉化為數學問題的能力得到鍛煉，落實情感價值目標。利用動畫展示做題過程，激發學生學習興趣。

　　例2　已知：如圖，AB=AC=8cm ，DE是AB邊的中垂線交AC于點E，BC=6cm，求BEC的周長。

　　教師活動：教師分析題中關鍵語句； “DE是AB邊的中垂線”提出問題 “（1）利用線段中垂線性質能得到什么結論？（2）求BEC的周長我們應該先干什么？從而得出此類題型的結題規律“利用線段垂直平分線性質找相等線段；表示周長為三邊和并進行等量代換”把未知問題轉化為已知條件解決問題。

　　師生共同完成證明過程：

　　DE是AB邊的中垂線（已知）

　　∴AE=BE（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等）

　　AC=AE+EC=8cm（已知）

　　∴AC=BE+EC=8cm （等量代換）

　　又 CBEC=BE+EC+BC ，BC=6cm

　　∴CBEC=BE+EC+6 =8+6=14cm

　　教師用動畫效果展示書寫過程，教會學生應用數學符號語言書寫過程的本領和幾何邏輯思維能力的培養，從而達到能力目標的實現。

　�。ㄈ╂溄又锌迹╬pt9、ppt10展示）

　　1、如圖，在ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB于點D，交邊AC于點E，BCE的周長等于18cm，則AC的長等于（）。

　　A、6cm B、8cm C、10cm D、12cm

　　2、在 ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=5，ABC的周長是30，求 ABD的周長。

　　B D C

　　學生活動：讓學生應用本節所學知識進行當堂檢測，了解學生知識掌握情況。

　　教師活動：教師引導學生根據問題中關鍵語句，結合本節所學知識點進行思路點撥，提問學生，最后利用動畫展示答案。

　　（四）課堂小結：（ppt11展示）

　　本課我們學習了線段的垂直平分線的尺規作圖和性質，通過學習我們知道要找一點到兩點的距離相等，只需把兩點連城線段做該線段的垂直平分線；在有關周長問題時首先根據線段垂直平分線的性質找到相等線段，在表示周長利用等量代換把未知問題轉化為已知問題。

　�。ㄎ澹┳鳂I布置（ppt12展示）

　　如下圖ABC中，AC=16cm，DE為AB的垂直平分線， BCE的周長26cm，求BC的長。

　　六、教學反思：

　　線段垂直平分線在幾何作圖、證明、計算中有著十分重要的作用。線段的垂直平分線的性質定理是推證線段相等的重要途經。

　　在設計教案時，我結合教材內容，對如何導入新課，引出定理以及證明進行了探索。在導入新課這一環節上我先讓學生觀察昆蟲找它們的對稱軸，引導學生不折疊如何作對稱軸？教會學生作線段垂直平分線的尺規作圖步驟，進一步通過做一條線段AB的垂直平分線MN，在MN上取一點P，讓學生量出PA、PB的長度，引導學生觀察、討論每個人量得的這兩個長度之間有什么關系：得到什么結論？學生回答：PA=PB。然后再讓學生取一點試一試，這兩個長度也相等，由此引導學生猜想到線段垂直平分線的性質定理。在這一過程中讓學生主動積極的參與到教學中來，使學生通過作圖、觀察、量一量再得出結論。從而把知識的形成過程轉化為學生親自參與、發現、探索的過程。在教學時，引導學生分析性質定理的條件和結論教學生學會幾何符號語言的書寫。再通過一道生活問題讓學生理解數學與實際的聯系，通過分析找關鍵語句，得出作線段垂直平分線，這個過程既是探索過程也是調動學生動腦思考的過程，只有學生動腦思考了，才能真正理解線段垂直平分線的性質定理。在此基礎上進一步設計相關周長問題，再次引導學生若已知條件中給出線段的垂直平分線，我們可以得到相等線段，求周長問題可歸納為

　�。�1）周長表示為三邊的和

　�。�2）利用等量代換轉化為已知條件解決問題的基本解題步驟使學生學會分析問題。這樣可以幫助學生認識理論來源于實踐又服務于實踐的道理，也能提高他們學習的積極性，加深對所學知識的理解。

　　線段的垂直平分線學案教學設計 7

　　教材分析

　　線段的垂直平分線的概念前面已學過，本課是進一步理解線段垂直平分線的性質，學會線段的垂直平分線的做法，會做軸對稱圖形的對稱軸。

　　線段的垂直平分線的性質，在計算、證明、作圖中有著廣泛的應用，可以簡化證明，方便計算。

　　在本課的學習中，應注重聯系線段的垂直平分線性質，提高綜合運用知識的能力。

　　學情分析

　　由于本課的難點是線段的垂直平分線定理和逆定理的聯系，因此，需注重對定理和逆定理的題設與結論的分析，使同學們能正確理解這兩個定理的關系，能根據命題的條件準確地選擇定理、選擇方法，從而提高解決問題的能力。

　　教學目標

　�、偬剿髡莆站€段的垂直平分線性質及它們的應用。

　　②正確理解兩條性質的關系，準確選擇定理與方法，提高解決問題的能力。

　　③揭示數學與現實生活中實際問題的聯系，從而激發學生學習數學的'積極性。

　　教學重點

　　線段的垂直平分線的性質和判定，能靈活運用線段的垂直平分線的性質和判定解題。

　　教學難點

　　靈活運用線段的垂直平分線的性質和判定解題。

　　教學準備：課件、多媒體設備、三角板、圓規

　　課時安排：

　　1課時

　　教法與學法：授課法、討論法

　　教學過程：

　　一、問題導入

　　我們已經知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸。那么，線段的垂直平分線有什么性質呢？這節課我們就來研究它。

　　二、探究新知

　�。ㄒ唬┚€段的垂直平分線的性質

　　教師出示教材第61頁探究，讓學生測量，思考有什么發現？

　　如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3…是l上的點，分別量一量點P1，P2，P3…到點A與點B的距離，你有什么發現？

　　學生回答，教師小結：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。

　　性質的證明：教師講解題意并在黑板上繪出圖形：上述問題用數學語言可以這樣表示：如圖，設直線MN是線段AB的垂直平分線，點C是垂足，點P是直線MN上任意一點，連接PA，PB，我們要證明的是PA＝PB。

　　教師分析證明思路：圖中有兩個直角三角形，△APC和△BPC，只要證明這兩個三角形全等，便可證得PA＝PB。教師要求學生自己寫已知，求證，自己證明。

　　學生證明完后教師板書證明過程供學生對照。

　　已知：MN⊥AB，垂足為點C，AC＝BC，點P是直線MN上任意一點。求證：PA＝PB。

　　證明：在△APC和△BPC中，

　　∵PC＝PC（公共邊），∠PCB＝∠PCA（垂直定義），AC＝BC（已知），

　　∴△APC≌△BPC（SAS）。

　　∴PA＝PB（全等三角形的對應邊相等）。

　　因為點P是線段的垂直平分線上一點，于是就有：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。

　　（二）線段的垂直平分線的判定

　　你能寫出上面這個命題的逆命題嗎？它是真命題嗎？這個命題不是“如果…那么…”的形狀，要寫出它的逆命題，需分析命題的條件和結論，將原命題寫成“如果…那么…”的形式，逆命題就容易寫出。鼓勵學生找出原命題的條件和結論。

　　原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”，結論是“這個點與這條線段兩個端點的距離相等”。

　　此時，逆命題就很容易寫出來�！叭绻幸粋€點與線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上�！�

　　寫出逆命題后，就想到判斷它的真假。如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明。請同學們自行在練習冊上完成。

　　學生給出了如下的四種證法。

　　已知：線段AB，點P是平面內一點，且PA＝PB。

　　求證：P點在AB的垂直平分線上。

　　證法一　過點P作已知線段AB的垂線PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）。∴AC＝BC，即P點在AB的垂直平分線上。

　　證法二　取AB的中點C，過P，C作直線�！逷A＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC（SSS）。

　　∴∠PCA＝∠PCB（全等三角形的對應角相等）。

　　又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P點在AB的垂直平分線上。

　　證法三　過P點作∠APB的平分線。

　　∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC（SAS）。

　　∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB（全等三角形的對應邊相等，對應角相等）。

　　又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P點在AB的垂直平分線上。

　　從同學們的推理證明過程可知線段的垂直平分線的性質的逆命題是真命題，我們把它稱為線段的垂直平分線的判定。

　　要作出線段的垂直平分線，根據垂直平分線的判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個與線段兩個端點距離相等的點，這樣才能確定已知線段的垂直平分線。

　　下面我們一同來寫出已知、求作、作法，體會作法中每一步的依據。

　　例1　尺規作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線。

　　已知：直線AB和AB外一點C。（如下圖）

　　求作：AB的垂線，使它經過點C。

　　作法：（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁。

　�。�2）以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和點E。

　�。�3）分別以點D和點E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點F。

　�。�4）作直線CF。

　　直線CF就是所求作的垂線。

　　師：根據上面作法中的步驟，想一想，為什么直線CF就是所求作的垂線？請與同伴進行交流。

　　生：從作法的第（2）（3）步可知CD＝CE，DF＝EF，

　　∴C，F都在AB的垂直平分線上（線段的垂直平分線的判定）。

　　∴CF就是線段AB的垂直平分線（兩點確定一條直線）。

　　師：我們曾用刻度尺找線段的中點，當我們學習了線段的垂直平分線的作法時，一旦垂直平分線作出，線段與線段的垂直平分線的交點就是線段AB的中點，所以我們也用這種方法找線段的中點。

　　三、課堂練習

　　教材第62頁練習第1，2題。

　　四、課堂小結

　　本節課我們學習了線段的垂直平分線的性質和判定，并學會了用尺規作線段的垂直平分線。

　　五、布置作業

　　1。教材習題13.1第6題。

　　2。補充題：

　　（1）下圖是某跨河大橋的斜拉索，圖中PA＝PB，PO⊥AB，則必有AO＝BO，為什么？

　�。�2）如左下圖，△ABC中，AC＝16 cm，DE為AB的垂直平分線，△BCE的周長為26 cm。求BC的長。

　　（3）有A，B，C三個村莊（如右上圖），現準備建一所學校，要求學校到三個村莊的距離相等，請你確定學校的位置。

　　板書設計

　　線段的垂直平分線的性質與判定

　　性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。

　　用符號語言表示為：∵ PC垂直平分AB（CA=CB，PC ⊥AB）， ∴ PA=PB

　　判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

　　用符號語言表示為：∵PA=PB ∴ P在線段AB的垂直平分線上

　　作圖：

　　教學反思：

　　本節證明了線段的中垂線的性質定理及判定定理、用尺規作線段的中垂線。在課堂中，學生證明過程、作圖方法原理的理解及掌握都比較好，但要強調作業中不用三角板等工具而要用尺規來作圖，解決實際問題時可以直接用定理而不是借助于全等。

　　線段的垂直平分線學案教學設計 8

　　一、教學目標

　　【知識與技能】

　　掌握線段的垂直平分線的性質，掌握垂直平分線的尺規作圖方法。

　　【過程與方法】

　　在線段的垂直平分線性質的探究過程中，提升發現問題、分析問題、解決問題的能力。

　　【情感態度價值觀】

　　體會利眉負渦災式餼黽負撾侍獾睦秩ぃ岣哐笆У男巳ぃ嶸笆У淖孕判模形蚴в肷畹氖導柿怠

　　二、教學重難點

　　【教學重點】

　　線段的垂直平分線的性質。

　　【教學難點】

　　線段的垂直平分線的性質及其證明。

　　三、教學過程

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　　提出問題：如何畫出軸對稱圖形的對稱軸？

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　　學生活動：觀察課本13.1.6的線段的`垂直平分線的圖像。

　　教師總結尺規作圖的步驟并板書。

　　提問4：已知兩個圖形成軸對稱，如何找出對稱軸？

　　只要找出軸對稱圖形上任意對應的兩點，作出其連線的垂直平分線，該垂直平分線即為對稱軸，并發現對稱軸所在的直線就是垂直平分線。

　　（三）課堂練習

　　例1：對稱軸與垂直平分線相同么？

　　例2：如何畫出一個軸對稱圖形的對稱軸？

　�。ㄋ模┬〗Y作業

　　提問：今天有什么收獲？

　　引導學生回顧：線段的垂直平分線的性質及利用垂直平分線的性質作出一條直線的垂直平分線。

　　課后作業：

　　角是不是對稱軸圖形，如果是，它的對稱軸是什么？

　　四、板書設計

　　線段的垂直平分線學案教學設計 9

　　教學目標：

　　1．要求學生掌握線段垂直平分線的性質定理及判定定理，能夠利用這兩個定理解決一些問題。

　　2．能夠證明線段垂直平分線的性質定理及判定定理。

　　3．通過探索、猜測、證明的過程，進一步拓展學生的推理證明意識和能力。

　　教學重點：

　　線段垂直平分線性質定理及其逆定理。

　　教學難點：

　　線段垂直平分線的性質定理及其逆定理的內涵和證明。

　　教學過程：

　　我們曾利用折紙的辦法得到：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離睛等，你能證明這一結論嗎？

　　一、線段垂直平分線上的.點到這條線段兩個端點的距離相等

　　1．讓學生把準備好的方方正正的紙拿出來，按照下圖的樣子進行對折，并比較對折之后的折痕EB和E’B、FB和F’B的關系。

　　2．讓學生說出他們觀察猜測的結果是什么，肯定他們的發現，引導學生思考：這樣一個結論是比較直觀和明顯的，我們可以說出兩組邊分別是相等的，但是，我們可以用觀察說服別人嗎?

　　3．給學生留出時間和空間思考如何把猜想變成事實。學生可以討論交流不同的方法。提示學生在證明之前，要把文字語言變成數學語言，根據圖形寫出已知和求證。

　　定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。

　　已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一點。

　　求證：PA=PB。

　　證明：∵MN⊥AB，

　　∴∠PCA=∠PCB=90°

　　∵AC=BC，PC=PC

　　∴△PCA≌△PCB（SAS）

　　∴PA=PB（全等三角形的對應邊相等）

　　想一想，你能寫出上面這個定理的逆合題嗎？

　　它是真命題嗎？如果是請證明。

　　線段的垂直平分線學案教學設計 10

　　教學目標：

　　知識與技能：使學生理解線段垂直平分線的定義，掌握求線段垂直平分線的方法，并能熟練地在平面幾何圖中繪制線段的垂直平分線。

　　過程與方法：通過課堂講解、例題分析和實踐操作，培養學生的幾何直觀能力和邏輯推理能力，使學生能夠運用垂直平分線的性質解決實際問題。

　　情感態度與價值觀：激發學生對幾何學習的興趣，培養學生的探索精神和合作意識，讓學生在解決問題的過程中體驗成功的喜悅。

　　教學重點與難點：

　　教學重點：線段垂直平分線的定義及性質，求線段垂直平分線的方法。

　　教學難點：運用垂直平分線的性質解決實際問題，特別是涉及到距離相等的問題。

　　教學準備：

　　多媒體課件

　　幾何畫板軟件

　　黑板及粉筆

　　學生用幾何作圖工具（直尺、圓規等）

　　教學過程：

　　一、導入新課

　　復習舊知：簡要回顧線段、中點等基本概念，以及直線的性質。

　　情境引入：通過生活中的.實例（如村莊到河流兩岸的距離相等），引出線段垂直平分線的概念，激發學生的學習興趣。

　　二、講授新知

　　定義講解：

　　定義線段垂直平分線：經過線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。

　　強調垂直平分線的兩個關鍵要素：經過中點、垂直于線段。

　　性質探討：

　　性質一：線段垂直平分線上的任意一點到線段兩端點的距離相等。

　　性質二：到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上。

　　通過多媒體展示圖形，結合性質進行直觀解釋，并引導學生理解記憶。

　　作圖方法：

　　方法一：利用直尺和圓規作圖。先找到線段的中點，然后以中點為圓心，線段的一半為半徑畫圓，連接線段兩端點與圓上任意一點（除中點外），得到的直線即為線段的垂直平分線。

　　方法二：利用幾何畫板軟件演示作圖過程，使學生更加直觀地理解。

　　三、例題分析

　　例題一：已知線段AB，求作AB的垂直平分線。

　　分析：按照上述作圖方法一進行演示，強調步驟和細節。

　　例題二：在三角形ABC中，點P是邊BC的垂直平分線上的點，證明PA=PB。

　　分析：利用垂直平分線的性質進行證明，引導學生寫出完整的證明過程。

　　四、實踐操作

　　分組活動：學生分組，每組發放幾何作圖工具，要求學生根據給定的線段，獨立或合作完成垂直平分線的作圖。

　　展示交流：各組展示作圖成果，分享作圖經驗和遇到的問題，教師給予點評和指導。

　　五、課堂總結

　　回顧知識點：總結線段垂直平分線的定義、性質和作圖方法。

　　強調重點：強調垂直平分線在解決實際問題中的應用，特別是涉及到距離相等的問題。

　　布置作業：

　　書面作業：完成課后習題，鞏固所學知識。

　　實踐作業：利用幾何作圖工具，設計并繪制包含線段垂直平分線的幾何圖形。

　　六、板書設計

　　標題：線段的垂直平分線

　　定義：經過線段中點且垂直于線段的直線

　　性質：

　　性質一：垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等

　　性質二：到線段兩端點距離相等的點在線段垂直平分線上

　　作圖方法：

　　方法一：直尺圓規作圖

　　方法二：幾何畫板演示

　　教學反思：

　　本節課通過生活實例引入，激發了學生的學習興趣。在講授新知環節，注重定義和性質的講解，并結合多媒體和實物演示，使學生對線段垂直平分線有了深刻的理解。在實踐操作環節，學生通過動手作圖，進一步鞏固了所學知識。但在教學過程中，也發現部分學生在運用垂直平分線性質解決實際問題時存在困難，需要在后續教學中加強練習和指導。

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