不等式證明方法

不等式證明方法

　　一、不等式證明的常用方法和基本不等式

　　師：前面我們復習了不等式的性質，現在開始復習不等式的證明.下面我們先來看一個問題：

　　[例1]求證：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

　　如何證明這個不等式呢？我們回憶一下，不等式證明有哪些常用的方法？

　　生：比較法、分析法和綜合法.

　　師：什么是比較法？這個不等式能不能用比較法來證明？

　　生：要證明a＞b，只要證明a-b＞0，這就是不等式證明的比較法，這個不等式能用比較法證明.

　　證法一

　　∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2

　　=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2

　　=(bc-ad)2≥0

　　∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

　　師：用比較法證明不等式的基本步驟有哪些？

　　生：有三步：(1)作差 (2)變形 (3)確定符號

　　師：什么是分析法？這個不等式能不能用分析法來證明？

　　生：從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的條件，把證明這個不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題；如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法就是不等式證明的分析法.這個不等式能用分析法來證明.

　　證法二

　　要證明(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

　　只要證明a2c2+b2c2+a2d2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2

　　也就是證明b2c2+a2d2≥2abcd

　　即 (bc-ad)2≥0

　　∵(bc-ad)2≥0成立

　　∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2成立

　　(教師指出應用分析法證明時要注意書寫格式)

　　師：什么是綜合法？這個不等式能不能用綜合法來證明？

　　生：利用某些已經證明過的不等式作為基礎，再運用不等式的性質推導出所要證明的不等式，這種方法是不等式證明的綜合法，這個不等式能用綜合法來證明.

　　證法三

　　∵b2c2+a2d2≥2abcd

　　∴a2c2+b2d2+b2c2+a2d2≥a2c2+2abcd+b2d2

　　即 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

　　師：應用綜合法證明的關鍵是找出作為基礎的已經證明過的不等式.這些不等式大都是基本不等式，主要有：

　　a2+b2≥2ab(a、b∈R)

　　(a、b∈R+)

　　這里要注意：

　　(1)不等式成立的條件，字母的允許值范圍；

　　(2)當且僅當a=b時，等號成立.

　　[這里改變了高三復習課先整理知識，然后講解例題的傳統模式，而是先提出問題讓學生思考，創設問題情境，激起學生復習的欲望和要求，喚起學生對舊知識的回憶，引起學生的思維.這樣可以提高學生復習的積極性.在此基礎上，通過教師的啟發，讓學生自己逐步回憶過去所學的知識，應用它們來分析問題和解決問題，最好引導學生自己歸納、整理舊知識，形成比較系統和完整的知識結構.]

　　二、不等式證明方法的應用

　　[例2]已知a、b、c是不全相等的正數.

　　求證：

　　(先讓學生議論，然后由學生起來回答，教師板書.)

　　證明：∵

　　a、b、c是不全相等的正數

　　∴①②③中等號不同時成立

　　∴

　　即

　　(如果學生按上述步驟進行證明，教師應提出：這樣證明有沒有問題？讓學生通過思考后發現：在證明一開始必須先指出a、b、c∈R+，否則不能確定①、②、③是否成立.)

　　師：在證明不等式時，應注意以下幾點：

　　(1)不等式的逆向運用，要證明不等式可以先證明它的逆向不等式.

　　(2)已知條件在不等式證明中的應用.由于a、b、c是三個不全相等的正數，從而得出①、②、③中三個等號不同時成立，于是才能證得原不等式成立.

　　(3)同向不等式相加是用綜合法證明不等式的常用手段.

　　[例3]已知a、b、c∈R+，求證：

　　(師生共同進行分析)

　　要證明

　　只要證明

　　也就是證明

　　如何證明這個不等式呢？(讓學生議論后回答)

　　生：∵a、b∈R+

　　∴

　　∴

　　師：這樣證明有沒有問題？ 生：(回答略)

　　師：在證明中必須注意：

　　這是因為兩個同向不等式相乘，必須兩個不等式的兩邊都是正的，才能運用不等式性質得出正確的結論.

　　通過討論我們可以得出如下結論：

　　(1)在證明不等式時，常常先用分析法思考，然后運用綜合法來表達.

　　(2)在不等式證明中常常要綜合應用其他的數學知識，如例3中要應用對數函數的增減性來證明.

　　(3)同向不等式相乘也是用綜合法證明不等式的常用手段.

　　[復習基本方法除了理解方法本身以外，重點是復習它的應用，關鍵是掌握運用基本方法的規律以及在運用時應注意的問題.在證明不等式時，常常先用分析法思考，然后用綜合法表達，在運用綜合法時，同向不等式相加和相乘又是常用的手段，還有不等式的逆向運用問題.在不等式證明的過程中，特別要注意基本不等式和不等式性質運用時所必須具備的條件，所有這些都必須通過復習讓學生掌握.這里還運用提出問題、分析問題和解決問題的方式來進行復習，讓學生在解決問題的過程中，通過討論，自己總結規律，掌握方法，提高能力，充分發揮他們的主體作用，提高復習效果.]

　　三、不等式證明方法的靈活應用

　　師：下面請同學們探討一下例4的解法

　　[例4]已知a、b、c∈R+，求證：ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)≥6abc

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