教案《切線長定理》
教案《切線長定理》
1、教材分析
（1）知識結(jié)構(gòu)
（2）重點、難點分析
重點：切線長定理及其應(yīng)用．因切線長定理再次體現(xiàn)了圓的軸對稱性，它為證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系等提供了理論依據(jù)，它屬于工具知識，經(jīng)常應(yīng)用，因此它是本節(jié)的重點．
難點：與切線長定理有關(guān)的證明和計算問題．如120頁練習(xí)題中第3題，它不僅應(yīng)用切線長定理，還用到解方程組的知識，是代數(shù)與幾何的綜合題，學(xué)生往往不能很好的把知識連貫起來．
2、教法建議
本節(jié)內(nèi)容需要一個課時．
（1）在教學(xué)中，組織學(xué)生自主觀察、猜想、證明，并深刻剖析切線長定理的基本圖形；對重要的結(jié)論及時總結(jié)；
（2）在教學(xué)中，以“觀察——猜想——證明——剖析——應(yīng)用——歸納”為主線，開展在教師組織下，以學(xué)生為主體，活動式教學(xué)．
教學(xué)目標(biāo)
1．理解切線長的概念，掌握切線長定理；
2．通過對例題的分析，培養(yǎng)學(xué)生分析總結(jié)問題的習(xí)慣，提高學(xué)生綜合運用知識解題的能力，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想．
3．通過對定理的猜想和證明，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，樹立科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度．
教學(xué)重點:
切線長定理是教學(xué)重點
教學(xué)難點:
切線長定理的靈活運用是教學(xué)難點
教學(xué)過程設(shè)計:
（一）觀察、猜想、證明，形成定理
1、切線長的概念．
如圖，P是⊙O外一點，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點P到⊙O的切線長．
引導(dǎo)學(xué)生理解：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.
2、觀察
利用電腦變動點P 的位置，觀察圖形的特征和各量之間的關(guān)系．
3、猜想
引導(dǎo)學(xué)生直觀判斷，猜想圖中PA是否等于PB． PA＝PB．
4、證明猜想，形成定理．
猜想是否正確，數(shù)學(xué)教案－切線長定理。需要證明．
組織學(xué)生分析證明方法．關(guān)鍵是作出輔助線OA，OB，要證明PA＝PB．
想一想：根據(jù)圖形，你還可以得到什么結(jié)論？
∠OPA＝∠OPB(如圖)等．
切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．
5、歸納：
把前面所學(xué)的切線的5條性質(zhì)與切線長定理一起歸納切線的性質(zhì)
6、切線長定理的基本圖形研究
如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點．直線OP交⊙O于點D，E，交AP于C
(1)寫出圖中所有的垂直關(guān)系；
(2)寫出圖中所有的全等三角形；
(3)寫出圖中所有的相似三角形；
(4)寫出圖中所有的等腰三角形．
說明：對基本圖形的深刻研究和認識是在學(xué)習(xí)幾何中關(guān)鍵，它是靈活應(yīng)用知識的基礎(chǔ)．
（二）應(yīng)用、歸納、反思
例1、已知：如圖，P為⊙O外一點，PA，PB為⊙O的切線，
A和B是切點，BC是直徑．
求證：AC∥OP．
分析：從條件想，由P是⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，A，B是切點可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由條件BC是直徑，可得OB＝OC，由此聯(lián)想到與直徑有關(guān)的定理“垂徑定理”和“直徑所對的圓周角是直角”等．于是想到可能作輔助線AB.
從結(jié)論想，要證AC∥OP，如果連結(jié)AB交OP于O，轉(zhuǎn)化為證CA⊥AB，OP ⊥AB，或從OD為△ABC的中位線來考慮．也可考慮通過平行線的判定定理來證，可獲得多種證法．
證法一．如圖．連結(jié)AB．
PA，PB分別切⊙O于A，B
∴PA＝PB∠APO＝∠BPO
∴ OP ⊥AB
又∵BC為⊙O直徑
∴AC⊥AB
∴AC∥OP (學(xué)生板書)
證法二．連結(jié)AB，交OP于D
PA，PB分別切⊙O于A、B
∴PA＝PB∠APO＝∠BPO
∴AD＝BD
又∵BO=DO
∴OD是△ABC的中位線
∴AC∥OP
證法三．連結(jié)AB，設(shè)OP與AB弧交于點E
PA，PB分別切⊙O于A、B
∴PA＝PB
∴ OP ⊥AB
∴ =
∴∠C＝∠POB
∴AC∥OP
反思：教師引導(dǎo)學(xué)生比較以上證法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用知識的能力．
例2、 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等．
（分析和解題略）
反思：（1）例3事實上是圓外切四邊形的一個重要性質(zhì)，請學(xué)生記住結(jié)論．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對角互補．
P120練習(xí)：
練習(xí)1 填空
如圖,已知⊙O的半徑為3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分別切⊙O于A，B，則PA＝_______，∠APB＝________
練習(xí)2 已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的內(nèi)切圓分別和BC，AC，AB切于點D，E，F(xiàn)，求AF，AD和CE的長．
分析：設(shè)各切線長AF，BD和CE分別為x厘米，y厘米，z厘米．后列出關(guān)于x , y，z的方程組，解方程組便可求出結(jié)果．
（解略）
反思：解這個題時，除了要用三角形內(nèi)切圓的概念和切線長定理之外，還要用到解方程組的知識，是一道綜合性較強的計算題．通過對本題的研究培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用知識的能力．
（三）小結(jié)
1、提出問題學(xué)生歸納
（1）這節(jié)課學(xué)習(xí)的具體內(nèi)容；
（2）學(xué)習(xí)用的數(shù)學(xué)思想方法；
（3）應(yīng)注意哪些概念之間的區(qū)別?
2、歸納基本圖形的結(jié)論
3、學(xué)習(xí)了用代數(shù)方法解決幾何問題的思想方法．
（四）作業(yè)
教材P131習(xí)題7．4A組1．(1)，2，3，4．B組1題．
探究活動
圖中找錯
你能找出（圖1）與（圖2）的錯誤所在嗎？
在圖2中，P1A為⊙O1和⊙O3的切線、P1B為⊙O1和⊙O2的切線、P2C為⊙O2和⊙O3的切線．
提示：在圖1中，連結(jié)PC、PD，則PC、PD都是圓的直徑，從圓上一點只能作一條直徑，所以此圖是一張錯圖，點O應(yīng)在圓上．
在圖2中，設(shè)P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A＝P3C＝c，則有
a=P1A=P1P3+P3A=P1P3+ c ①
c=P3C=P2P3+P3A=P2P3+ b ②
a=P1B=P1P2+P2B=P1P2+ b ③
將②代人①式得
a =P1P3+（P2P3+ b）=P1P3+P2P3+ b，
∴a-b=P1P3+P2P3
由③得a-b=P1P2得
∴P1P2=P2P3+ P1P3
∴P1、P 2 、P3應(yīng)重合，故圖2是錯誤的．
數(shù)學(xué)教案－切線長定理
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